Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

1.1 Inventar und Syntax

^rμ^μoo∙ ∙ ∙ μ^μ0AusL(μo)-ι... μ^μ,'¹o...μ^μ,-1AusL(μM)-ιμi∙∙∙μk-1∣.

Wegen μ_i = ^rμ^μ*_o. p^A.-u^^o-ii gilt dann mit Postulat 1-3:

^rμ^μ0o. μ^μ0AusL(μ₀)-ι ∙ μ^μ''¹o∙.. μ^μ'^-1AusL(μ_i-1)-ιμi∙ ∙ ∙ μk-1∣

^rμ^μ0o ∙ μ^μ0AusL(μ₀)-ι ∙ μ^μ'^-1o ∙ ∙ ∙ μ^μ*^-1AusL(μ_i-1)-ι μ^μ*o ∙ ∙ ∙ μ^μ,AusL(μ_i)-ι μ*+ι ∙ ∙ ∙ μk-1∣

^rμ^μ0o... μ^μoAusL(μ_o)-ι■■■ μ^μio■■■ μ^μ,AusL(μ_i)-ιμ⅛ι■■■ μk-1∣ .

Damit gilt dann insgesamt:

'μ ...μ ∣

^rμ^μoo... μ^μoAusL(μo)-ι■■■ μ^μio■■■ μ^μ,AusL(μ,)-ιμ⅛ι■■■ μk-ι∣.

Zu (ii) und (iii): Nach Postulat 1-3 gibt es m* ∈ N\{o} und {μ*o, ∙, μ*m*-1} ⊆ GAus,
so dass ^rμ_o...μ⅛_-Γ = ^rμ*_o...μ*_m*_-Γ und m* = ∑^kk=¹₀ AuSL(μ_j∙) und fur alle s < m*: μ*_s =
μ^μo_s, falls s < AuSL(μ_o), und μ*_s = μ^μl_r fur die eindeutig bestimmten l, r, fur die o < l < k,
r < AuSL(μ_l) und s = (∑n = ₀ AuSL(μ_n))+r, falls AuSL(μ_o) ≤ s. Dann gilt zunachst
∑^{k 1}₀ AuSL(μj) = m* = AuSL(^rμ%...μ*m*-Γ) = AuSL(^rμo...μ_fc-Γ). Damit gilt (ii). Sei
nun fur (iii) m ∈ N\{o} und {μ'o, ., μ'm-1} ⊆ GAuS. (L-R): Sei
^rμ^μoo.μ^μoAuSL(μo)-ι.μ^μk-1o∙μ^μk-1AuSL(μk-ι)-ι^π = ^rμo...μ'm-Γ. Mit (i) gilt dann ^rμ'o...μ'_m-Γ =
^rμ_o. μ_k-1∣ = ^rμ*_o. μ*_m*_-1∣. Mit Postulat 1-2-(i) gilt dann m = m* = ∑ k ¹₀ AuSL(μ_j∙) und
fur alle s < m gilt μ,s = μ*s. Damit gilt dann fur alle s < m: μ,s = μ^μos, falls s < AuSL(μo),
und μ,s = μ^μlr fur die eindeutig bestimmten l, r, fur die o < l < k, r < AuSL(μl) und s =
(∑_n ¹ ₀ AuSL(μn))+r, falls AuSL(μo) ≤ s.

(R-L): Sei m = ∑^kZ¹₀ AuSL(μ_j∙) und gelte fur alle s < m: μ'_s = μ^μo_s, falls s < AuSL(μ_o),
und μ,s = μ^μlr fur die eindeutig bestimmten l, r, fur die o < l < k, r < AuSL(μl) und s =
(∑n^= ₀ AuSL(μ_n))+r, falls AuSL(μ_o) ≤ s. Dann gilt m* = m und fur alle s < m gilt μ'_s =
μ*_s. Damit gilt dann mit Postulat 1-2-(i), dass ^rμ'_o. μ'_m-1∣ = ^rμ*_o. μ*_m*_-1^π. Damit gilt mit
(i): ^rμ^μoo.μ^μoAuSL(μo)-1.μ^μk-1o∙μ^μk-1AuSL(μk-1)-1^π = ^rμo∙∙.μ⅛-Γ = ^rμ*o∙ ∙ ∙ μ*m*-Γ =
^rμ'o. μ'm-1∣. ■

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