Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

1 Zum grammatischen Rahmen

Theorem 1-4. Zur Identitat von Ausdrucksverkettungen (a)

Wenn k ∈ N∖{0} und fur alle i < k: μ_i ∈ AUS und μi = ^rμ^μ*o^μ^μ,A_usL(_μ,)_-1^π, wobei {μ^μ*o, .,
μ^μ*AusL(μ,)-ι} ⊆ GAUS, dann:

(i)      'μ. .μ ∣

^rμ^μ00 . μ^μ0AUSL(μo)-1 . μ^μk^-10 . μ^μk^-1AUSL(μk-i)-1^l,

(ii)   AUSL( ^rμo. μk-ι∣) = ∑^kk O AUSl.(μ ) und

(iii) Wenn m ∈ N∖{0} und {μ'₀, ., μ'_m-1} ⊆ GAUS, dann:

^rμ^μ00 . μ^μ0AUSL(μ0)-l . μ^μk^-10 . μ^μk^-1AUSL(μk-i)-1∣

^γii' 11' ^^i
μ 0. ^μ m-1
gdw

m = ∑^kk~i¹_o AUSL(μ_j∙) und fur alle s < m: μ'_s = μ^μ0_s, falls s < AUSL(μ₀), und

μ'_s = μ^μl_r fur die eindeutig bestimmten l, r, fur die 0 < l < k und r < AUSL(μ_l) und s =
(∑_n ¹ _o AUSL(μ_n))+r, falls AUSL(μ0) ≤ s.

Beweis: Sei k ∈ N∖{0}, fur alle i < k: μi ∈ AUS und μi = ^rμ^μ*₀. ц^ашц^Г, wobei {μ^μi₀,
., μ^μ'_AUs_L(_μ,)-l} ⊆ GAUS. Zu (i): Durch Induktion uber i wird zunachst gezeigt, dass fur
alle i < k gilt:

^rιι M ^^l
μ0.μk-1

^rμ^μ00 . μ^μ0AUSL(μ0)-l . μ^μi0 . μ^μiAUSL(μi)-1 μi+1 ■■■ μk-1^l .

Damit gilt dies dann auch fur i = k-1 und damit gilt dann (i). Gelte die Behauptung nun
fur alle l < i. Sei nun i < k. Dann ist i = 0 oder 0 < i. Sei nun i = 0. Wegen μ0 =
^rμ^μ0₀. μ^μo_AUs_L(_μo)-₁^π ist dann nach Postulat 1-3:

> .μ ∣

^rμ^μ00. μ^μ0AUSL(μ0)-1 μι. μk-ι∣.

Sei nun 0 < i. Dann gilt fur alle l < i, dass l < k und damit nach I.V.:

> .μ ∣

^rμ^μ00 . μ^μ0AUSL(μ0)-1 . μ^μl0 . μ^μlAUSL(μι)-1 μi+1 . . gk-l^ .

Da nun i-1 < i, gilt damit:

^rμ0.μk-1∣

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