Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

1.1 Inventar und Syntax

beiden Fallen zu einem Widerspruch. Also ist r < AUSL(μ_l). Also ist insgesamt 0 < l < k
und r < AUSL(μ_l) und s = (∑_n ¹ ₀ AUSL(μ_n))+r und somit gilt a).

Nun ist noch b), also die eindeutige Bestimmtheit von l, r, zu zeigen. Sei dazu 0 < l' < k
und r' < AUSL(μ_l') und s = (∑...'. ¹₀ AUSL(μ_n))+r'. Dann ist ∑...'. ¹₀ AUSL(μ_n) ≤ s. Damit
ergibt sich aus der Maximalitat von l, dass l' ≤ l. Ware nun l' < l. Dann ware l' ≤ l-1 und
damit ware (∑l' ¹₀ AUSL(μ_n))+AUSL(μ_l') = ∑ζ _{= 0} AUSL(μ_n) ≤ ∑_n ¹ ₀ AUSL(μ_n) ≤ s =
(∑l' ¹₀ AUSL(μ_n))+r'. Damit ware dann aber AUSL(μ_l') ≤ r', was der Annahme uber r'
widerspricht. Also ist l' = l. Damit ist dann aber (∑^ln~=₀ AUSL(μ_n))+r' =
(∑_n ¹ ₀ AUSL(μ_n))+r' = s = (∑_n ¹ ₀ AUSL(μ_n))+r und somit auch r' = r. ■

Postulat 1-3. Verkettung von Ausdrucken

Wenn k ∈ N∖{0} und fur alle i < k: μ_i ∈ AUS und μ_i = ^'o--^'ajsl(^h^-1, wobei {μ^μ*o, ∙∙∙,
μ^μ’_AUsL(_μ,)_-1} ⊆ GAUS, dann gibt es m ∈ N∖{0} und {μ*₀, .., μ*_m-1} ⊆ GAUS, so dass fur alle
i < k:

'μ. ...μ ∣

^rμo ■■■ μi-ι μ^μio ■■■ μ^μiAUSL(μi)-ι μi+ι ■■■ μ⅛-ι∣

^rμ*o...μ*_m√, wobei

a)    m = ∑j^k Ξ¹₀ AUSL(μ_j∙) und

b) Fur alle s < m:

μ*_s = μ^μ0_s, falls s < AUSL(μ₀) und
μ*_s = μ^μl_r fur die eindeutig bestimmten l, r, fur die 0 < l < k und r <
AUSL(μ_l) und s = (∑^lΓ=₀ AUSL(μ_n))+r, falls AUSL(μ₀) ≤ s.

Als unmittelbare Konsequenz aus Postulat 1-3 ergibt sich zunachst, dass jede Verkettung
von Ausdrucken mit einer Verkettung von Grundausdrucken identisch und somit ein
Ausdruck ist. Nun folgen zunachst einige allgemeine Theoreme zu Ausdrucken und ihren
Verkettungen (Theorem 1-4 bis Theorem 1-8), bevor die Stelligkeit von Operatoren und
sodann die Kategorien der Terme, Quantoren und Formeln definiert werden.

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