Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

1 Zum grammatischen Rahmen

Theorem 1-1. AUSL ist eine Funktion auf AUS

(i) Dom(AUSL) = AUS und

(ii) Fur alle μ ∈ AUS, k, l ∈ N: Wenn (μ, k), (μ, l) ∈ AUSL, dann k = l.

Beweis: (i) ergibt sich direkt aus Definition 1-3 und Definition 1-4. Zu (ii): Seien μ ∈
AUS, k, l ∈ N mit (μ, k), (μ, l) ∈ AUSL. Dann gibt es {μ₀, ..., μ_k-1} ⊆ GAUS mit μ =
^rμ₀...μ_k-Γ und es gibt {μ'₀, ., μ'_l-1} ⊆ GAUS mit μ = ^rμ'₀...μ'_l-1^^l. Nach Postulat 1-2-(i)
ist dann k = l. ■

Theorem 1-2. Ausdrucke sind Verkettungen von Grundausdrucken

Wenn μ ∈ AUS, dann gibt es {μo, ., μAUSL(μ)-ι} ⊆ GAUS, so dass μ = ^rμo. μAUSL(μ)-ι^π .

Beweis: Ergibt sich direkt aus Definition 1-3 und Definition 1-4. ■

Theorem 1-3. Identifizierung von Gliedern einer Ausdrucksverkettung

Wenn k ∈ N∖{0} und fur alle i < k: μi ∈ AUS, dann gilt fur alle s < ∑^kkf¹₀ AUSL(μ_j):

(i)   s < AUSL(μ₀)

oder

(ii) AUSL(μo) ≤ s und es gibt l, r, so dass

a)    0 < l < k und r < AUSL(μ_l) und s = (∑¹f= ₀ AUSL(μ_n))+r und

b)    Fur alle l', r': Wenn 0 < l' < k und r' < AUSL(μ_f) und s =

(∑n,L¹₀ AUSL(μ_n))+r', dann l' = l und r' = r.

Beweis: Sei k ∈ N∖{0} und gelte fur alle i < k: μ_i ∈ AUS. Sei nun s < ∑k ¹₀ AUSL(μ_j).
Dann ist s < AUSL(μ0) oder AUSL(μ0) ≤ s. Im ersten Fall gilt die Behauptung. Sei nun
AUSL(μ0) ≤ s. Dann ist 1 < k, denn sonst ware 1 = k und somit AUSL(μ₀) =

∑  0 AUSL(μ) > s. Also gibt es wenigstens ein i, namlich 1, so dass 0 < i < k und

∑n ¹ ₀ AUSL(μ_n) ≤ s. Sei nun l = max({i | 0 < i < k und ∑n ¹ ₀ AUSL(μ_n) ≤ s}). Dann ist 0
< l < k und ∑]f¹ ₀ AUSL(μ_n) ≤ s. Dann gibt es ein r, so dass (∑_n ¹ ₀ AUSL(μ_n))+r = s.
Ware nun AUSL(μl) ≤ r. Nun ist l < k-1 oder l = k-1. Angenommen l < k-1. Dann ist l+1
< k. Dann ware ∑^ _{= 0} ALSL(μ.) = (∑f¹ ₀ AUSL(μ_n))+AUSL(μl) ≤ (∑f¹ ₀ AUSL(μ_n))+r
= s, was der Maximalitat von l widerspricht. Angenommen l = k-1. Dann ware l-1 = k-2
und somit ∑^k^=¹0 AUSL(μn) = (∑k^=²0 AUSL(μ_n))+AUSL(μ_k-ι) ≤ (∑k ²₍₎ AUSL(μ_n))+r = s,
was der Annahme uber s widerspricht. Also fuhrt die Annahme, dass AUSL(μl) ≤ r in

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