Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



1 Zum grammatischen Rahmen

Theorem 1-1. AUSL ist eine Funktion auf AUS

(i) Dom(AUSL) = AUS und

(ii) Fur alle μ AUS, k, l N: Wenn (μ, k), (μ, l) AUSL, dann k = l.

Beweis: (i) ergibt sich direkt aus Definition 1-3 und Definition 1-4. Zu (ii): Seien μ
AUS, k,
l N mit (μ, k), (μ, l) AUSL. Dann gibt es {μ0, ..., μk-1} GAUS mit μ =
rμ0...μk-Γ und es gibt {μ'0, ., μ'l-1} GAUS mit μ = rμ'0...μ'l-1^l. Nach Postulat 1-2-(i)
ist dann k = l. ■

Theorem 1-2. Ausdrucke sind Verkettungen von Grundausdrucken

Wenn μ AUS, dann gibt es {μo, ., μAUSL(μ)-ι} GAUS, so dass μ = rμo. μAUSL(μ)-ιπ .

Beweis: Ergibt sich direkt aus Definition 1-3 und Definition 1-4. ■

Theorem 1-3. Identifizierung von Gliedern einer Ausdrucksverkettung

Wenn k N{0} und fur alle i < k: μi AUS, dann gilt fur alle s < kkf10 AUSL(μj):

(i)   s < AUSL(μ0)

oder

(ii) AUSL(μo) ≤ s und es gibt l, r, so dass

a)    0 < l < k und r < AUSL(μl) und s = (∑1f= 0 AUSL(μn))+r und

b)    Fur alle l', r': Wenn 0 < l' < k und r' < AUSL(μf) und s =

(∑n,L10 AUSL(μn))+r', dann l' = l und r' = r.

Beweis: Sei k N{0} und gelte fur alle i < k: μi AUS. Sei nun s < k 10 AUSL(μj).
Dann ist s < AUSL(μ
0) oder AUSL(μ0) ≤ s. Im ersten Fall gilt die Behauptung. Sei nun
AUSL(μ
0) ≤ s. Dann ist 1 < k, denn sonst ware 1 = k und somit AUSL(μ0) =

∑  0 AUSL(μ) > s. Also gibt es wenigstens ein i, namlich 1, so dass 0 < i < k und

n 1 0 AUSL(μn) ≤ s. Sei nun l = max({i | 0 < i < k und n 1 0 AUSL(μn) ≤ s}). Dann ist 0
< l < k und
∑]f1 0 AUSL(μn) ≤ s. Dann gibt es ein r, so dass (n 1 0 AUSL(μn))+r = s.
Ware nun AUSL(μ
l) ≤ r. Nun ist l < k-1 oder l = k-1. Angenommen l < k-1. Dann ist l+1
< k. Dann ware
^ = 0 ALSL(μ.) = (∑f1 0 AUSL(μn))+AUSL(μl) ≤ (∑f1 0 AUSL(μn))+r
= s, was der Maximalitat von l widerspricht. Angenommen l = k-1. Dann ware l-1 = k-2
und somit
k^=10 AUSL(μn) = (k^=20 AUSL(μn))+AUSL(μk) ≤ (k 2() AUSL(μn))+r = s,
was der Annahme uber s widerspricht. Also fuhrt die Annahme, dass AUSL(μ
l) ≤ r in



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