Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



10    1 Zum grammatischen Rahmen

μ+s = μμl°r° fur die eindeutig bestimmten l°, r°, fur die 0 < l° < i+1, r° < AUSL(μl°) und s =
(
n → AUSL(μn))+r°,
und

μ'+s = μ'μ'lrfur die eindeutig bestimmten l'°, r'°, fur die 0 < l'° < i+1, r'° < AUSL(μ'l)
und
s = (n°=0 AUSL(μ'n))+r'°.

Mit l°, l'° < i+1 gilt dann l°, l'° ≤ i. Damit gilt nach Annahme AUSL(μl) = AUSL(μ'l)
und ∑...
'° O AUSL(μn) = ∑n°= O AUSL(μ'n). Damit gilt 0 < l'° < i+1 und r'° < AUSL(μr)
und s = (∑n
= O AUSL(μn))+r'°. Dann ist nach Theorem 1-3 l'° = und r'° = r°. Ware nun
i+1 ≤ l. Dann ware
i ≤ l-1. Damit ware aber t = n = o AUSL(μn) ≤ n 1 o AUSL(μn) ≤ s.
Widerspruch! Also ist l < i+1. Damit ergibt sich dann l = l° und r = r°. Analog ergibt
sich, dass l' = l'° und r' = r'°, womit dann insgesamt gilt: l = l° = l'° = l' und r = r° = r'° =
r'. Damit ist dann μ*
s = μμlr = μ+s und μ'*s = μ'μ'lr = μ'+s. Wegen μ*s = μ'*s, ist damit μ+s =
μ'+
s. Also gilt fur alle s < t = t', dass μ+s = μ'+s und damit nach Postulat 1-2-(i), dass
rμ0...μi^l = rμ+0...μ+t-Γ = rμ'+0...μ'VΓ = rμ'0... μ'Γ. Sodann gilt mit Theorem 1-4-(i),
dass
rμo∙..μi^, = rμμ00∙∙∙ μμ0AUSL(μ0)-1∙∙∙ μμ,0∙∙∙ μμiAUSL<μi)-Γ und rμ'0...μ'i^1 =
rμ'μ'00. μ'μ'0AUSL(μ'0)-1. μ'μ'i0. μ'μ'iAUSL(μ',)-Γ. Damit gilt dann auch fur 0 < i, dass a) gilt.

Sei nun fur b) j ≤ i. Fur den Fall j = 0 wurde oben bereits gezeigt, dass dann μj = μ'j gilt.
Sei nun 0 < 
j ≤ i. Sei nun r < AUSL(μj) = AUSL(μ'j). Dann ist (jn = o AUSL(μn))+r =
(
n = o AUSL(μ'n))+r < t = t' ≤ m = m'. Dann gilt mit s = (jn =1 o AUSL(μn))+r, dass μ+s =
μμ
jr und μ'+s = μ'μ'jr. Da s < t = t' gilt dann, wie eben gezeigt, dass μ+s = μ'+s und damit auch
μμ
jr = μ'μ'jr. Also gilt fur alle r < AUSL(μj) = AUSL(μ'j), dass μμjr = μ'μ'jr. Damit gilt dann
mit Postulat 1-2-(i), dass μ
j∙ = rμμ⅛∙∙∙μμjAUSL(μ,)-Γ = rμ'μ'⅛∙∙∙μ"‰SL<μ'j)-Γ = μ'j. Damit gilt
b) auch fur 0 < i. ■

Theorem 1-6. Zur Identitat von Ausdrucksverkettungen (c)

Wenn k, s N\{0} und {μ0, ., μk-1} AUS und {μ'0, ., μ's-1} AUS und j k und μj =
rμ'0. μ',-1π, dann: rμ0. μfc√ = rμc. μj-1μ'0 . μ's-1 μj+1.. μt√.

Beweis: Seien k, s N\{0} und {μ0, ., μk-1} AUS und {μ'0, ., μ's-1} AUS und j <
k und μj∙ =
rμ'0. μ's-ι^l. Dann gibt es mit {μ'0, ., μ's-ι} AUS und Theorem 1-2 fur alle i
< s {μ'μ
'i0, ., μ'μ'iAUSL(μ'i)-1} GAUS, so dass μ'i = rμ'μ'i0∙∙∙μ'μ'iAUSL(μ',)-Γ. Mit Theorem
1-4-(i) ist μ
j = rμ'0.μ's-1π = rμ'μ'00.μ'μ'0AUSL(μ'0)-1.μ'μ's-10.μ'μ's-1AUSL(μs.1)-1π. Mit Postulat
1-3 gilt
rμ0∙∙∙μk-1^l = rμ0∙∙∙μj-1μ'μ00∙∙∙μ'μ0AUSL(μ'0)-1∙∙∙μ'μs^10...μ'μs'1AUSL(μ's-1)-1μj+1k-1^1.
Durch Induktion uber i wird zunachst gezeigt, dass fur alle i < s gilt:



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