12 1 Zum grammatischen Rahmen
Theorem 1-7. Eindeutige Anfangs- und Endausdrucke
Wenn μ, μ', μ*, μ+ ∈ AUS, dann:
(i) Wenn rμμ*π = rμμ+π, dann: μ* = μ+,
(ii) Wenn rμ*μπ = rμ+μη, dann: μ* = μ+, und
(iii) Wenn μ, μ' ∈ GAUS und rμμ*π = rμ'μ+π, dann μ = μ'.
Beweis: Seien μ, μ', μ*, μ+ ∈ AUS. Dann gibt es i ∈ N∖{0}, so dass {μ0, ..., μ--∣! ⊆
GAUS und μ = rμ0.μik1π und j ∈ N∖{0}, so dass {μ*0, ., μ*j-1} ⊆ GAUS und μ* =
rμ*o...μ*,-Г und k ∈ N∖{0}, so dass {μ+0, ., μ+k-1} ⊆ GAUS und μ+ = rμ+0...μ+k-f. Sei
nun fur (i) rμμ*^l = rμμ+^l. Dann gilt mit Theorem 1-5-(ii): i+j = i+k und somit j = k und
damit mit Theorem 1-5-(iii): μ* = μ+. (ii) ergibt sich analog. Seien nun fur (iii) μ, μ' ∈
GAUS und rμμ*^l = rμ'μ+^l. Dann ist rμμ*0...μ*j-1^l = rμ'μ+0...μ+k-1^l. Dann gilt mit
AUSL(μ) = 1 = AUSL(μ') und Theorem 1-5-(iii) μ = μ'. ■
Theorem 1-8. Kein Ausdruck enthalt sich selbst echt
Wenn μ', μ*, μ+ ∈ AUS, dann:
(i) μ' ≠ rμ'μ*π,
(ii) μ' ≠ rμ*μ'μ+π und
(iii) μ' ≠ rμ*μr,.
Beweis: Seien μ', μ*, μ+ ∈ AUS. Dann gibt es i ∈ N\{0}, so dass {μ'0, ., μ'i-1} ⊆ AUS
und μ' = rμ'0...μ'i-Γ und j ∈ N∖{0}, so dass {μ*0, ., μ*j-1} ⊆ AUS und μ* =
rμ*0...μ*j-Γ und k ∈ N∖{0}, so dass {μ+0, ., μ+k-1} ⊆ AUS und μ+ = rμ+0...μ+k-Γ.Ware
nun μ' = rμ'μ*^l oder μ' = rμ*μ'μ+^l oder μ' = rμ*μ'^l. Mit Theorem 1-5-(ii) ware dann i =
i+j oder i = j+i+k oder i = j+i und andererseits mit i, j, k ∈ N\{0}: i ≠ i+j und i ≠ j+i+k
und i ≠ j+i. Widerspruch! Also μ' ≠ rμ'μ*^l und μ' ≠ rμ*μ'μ+^l und μ' ≠ rμ*μ'^l. ■
Nun werden alle Operatoren nach ihrer Stelligkeit bestimmt, wobei die unter Definition
1-5-(vi) beschriebenen Operatoren in Definition 1-8 als Quantoren definiert werden, wel-
che eine eigene Kategorie bilden. Nach der Stelligkeitsdefinition konnen dann weiterhin
die Kategorien der Terme und der Formeln eingefuhrt und sodann die eindeutige Lesbar-
keit fur die bereits etablierten Kategorien gezeigt werden. Im Anschluss werden dann
weitere grammatische Begrifflichkeiten bis hin zu den Satzsequenzen entwickelt.