Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

12    1 Zum grammatischen Rahmen

Theorem 1-7. Eindeutige Anfangs- und Endausdrucke

Wenn μ, μ', μ*, μ⁺ ∈ AUS, dann:

(i)   Wenn ^rμμ*^π = ^rμμ^+π, dann: μ* = μ⁺,

(ii)   Wenn ^rμ*μ^π = ^rμ⁺μ^η, dann: μ* = μ⁺, und

(iii) Wenn μ, μ' ∈ GAUS und ^rμμ*^π = ^rμ'μ^+π, dann μ = μ'.

Beweis: Seien μ, μ', μ*, μ⁺ ∈ AUS. Dann gibt es i ∈ N∖{0}, so dass {μ₀, ..., μ-_-∣! ⊆
GAUS und μ = ^rμ₀.μ_ik1^π und j ∈ N∖{0}, so dass {μ*₀, ., μ*j_-1} ⊆ GAUS und μ* =
^rμ*o...μ*,-Г und k ∈ N∖{0}, so dass {μ⁺₀, ., μ⁺_k-1} ⊆ GAUS und μ⁺ = ^rμ⁺₀...μ⁺_k-f. Sei
nun fur (i) ^rμμ*^^l = ^rμμ⁺^^l. Dann gilt mit Theorem 1-5-(ii): i+j = i+k und somit j = k und
damit mit Theorem 1-5-(iii): μ* = μ⁺. (ii) ergibt sich analog. Seien nun fur (iii) μ, μ' ∈
GAUS und ^rμμ*^^l = ^rμ'μ⁺^^l. Dann ist ^rμμ*₀...μ*j_-1^^l = ^rμ'μ⁺₀...μ⁺_k-1^^l. Dann gilt mit
AUSL(μ) = 1 = AUSL(μ') und Theorem 1-5-(iii) μ = μ'. ■

Theorem 1-8. Kein Ausdruck enthalt sich selbst echt

Wenn μ', μ*, μ⁺ ∈ AUS, dann:

(i) μ' ≠ ^rμ'μ*^π,

(ii) μ' ≠ ^rμ*μ'μ^+π und

(iii) μ' ≠ ^rμ*μ^r,.

Beweis: Seien μ', μ*, μ⁺ ∈ AUS. Dann gibt es i ∈ N\{0}, so dass {μ'0, ., μ'i-1} ⊆ AUS
und μ' = ^rμ'₀...μ'i_-Γ und j ∈ N∖{0}, so dass {μ*₀, ., μ*j_-1} ⊆ AUS und μ* =
^rμ*₀...μ*j_-Γ und k ∈ N∖{0}, so dass {μ⁺₀, ., μ⁺_k-1} ⊆ AUS und μ⁺ = ^rμ⁺₀...μ⁺_k-Γ.Ware
nun μ' = ^rμ'μ*^^l oder μ' = ^rμ*μ'μ⁺^^l oder μ' = ^rμ*μ'^^l. Mit Theorem 1-5-(ii) ware dann i =
i+j oder i = j+i+k oder i = j+i und andererseits mit i, j, k ∈ N\{0}: i ≠ i+j und i ≠ j+i+k
und i ≠ j+i. Widerspruch! Also μ' ≠ ^rμ'μ*^^l und μ' ≠ ^rμ*μ'μ⁺^^l und μ' ≠ ^rμ*μ'^^l. ■

Nun werden alle Operatoren nach ihrer Stelligkeit bestimmt, wobei die unter Definition
1-5-(vi) beschriebenen Operatoren in Definition 1-8 als Quantoren definiert werden, wel-
che eine eigene Kategorie bilden. Nach der Stelligkeitsdefinition konnen dann weiterhin
die Kategorien der Terme und der Formeln eingefuhrt und sodann die eindeutige Lesbar-
keit fur die bereits etablierten Kategorien gezeigt werden. Im Anschluss werden dann
weitere grammatische Begrifflichkeiten bis hin zu den Satzsequenzen entwickelt.

<<   14   15   16   17   18   19   20   >>

More intriguing information