Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



14    1 Zum grammatischen Rahmen

Definition 1-10. Atomare, junktorale und quantorale Formeln (AFORM, JFORM, QFORM)
(i)   AFORM = {rΦ(θo, .., θ )' | Φ PRA n-stelligund {θo, .., θn-1} TERM},

(ii)   JFORM = {rΔ"1 | Δ FORM} {r0 ψ Δ1)"1 | Δ0, Δ1 FORM und ψ

JUNK{r-π}},

(iii) QFORM = {rΠξΔ^, | Δ FORM und Π QUANT und ξ VAR}.

Das folgende Theorem fuhrt direkt zur eindeutigen Lesbarkeit hin.

Theorem 1-9. Terme resp. Formeln haben keine Terme resp. Formeln als echte Anfangsaus-
drucke

(i) Wenn θ, θ' TERM und μ AUS, dann θ' ≠ ' θμ1, und

(ii) Wenn Δ, Δ' FORM und μ AUS, dann Δ' μ 1.

Beweis: Zu (i): Seien θ, θ' TERM und μ AUS. Der Beweis wird mittels Induktion
uber AUSL(θ') gefuhrt. Gelte dazu die Behauptung fur alle θ*
TERM mit AUSL(θ*) <
AUSL(θ'). Fur AUSL(θ') = 1, also θ'
ATERM, gilt die Behauptung trivial, weil es nach
Postulat 1-2-(ii) keine θ, μ
AUS gibt, so dass θ' = rθμ^l. Sei nun 1 < AUSL(θ'). Dann
gilt θ'
ATERM, also θ' FTERM. Also gibt es n' N\{0} und φ' FUNK, wobei φ'
n'-stellig, und {θ'0, ., θ,n-ι} TERM, so dass θ' = rφ'(θ'0, ., θ'n'-ι)^l. Ware nun θ' =
rθμ^l. Ware θ ATERM. Dann ware θ KONST PAR VAR und daher wurde nach
Theorem 1-7-(iii) mit
rφ'(θ'0, ., θ'n'-ι)^l = θ' = rθμπ gelten, dass φ' = θ KONST PAR
VAR. Widerspruch! Also ist θ FTERM und es gibt n N\{o} und φ FUNK, wo-
bei φ
n-stellig, und {θ0, ..., θn-ι} TERM, so dass θ = rφ(θ0, ..., θn-ι)π. Also rφ'(θ'0, .,
θ'
n'-ι)π = rφ(θ0, ., θn-ιπ. Dann gilt mit Theorem 1-7-(iii) φ' = φ und damit nach
Definition 1-5 und Postulat 1-1-(iv)
n = n'. Also rφ(θ'0, ., θ'n-1)^l = rφ(θ0, ., θn-1π,
wobei fur alle
i n auch gilt, dass AUSL(θ'i), AUSL(θi) < AUSL(θ').

Sodann gilt mit {μ} TERM AUS, dass es {μ*0, ., μ*AUSL(μ)-1} GAUS und
θ'
00, ., μθ'0AUSL(θ'0)-1} . θ'n-10, ., μθ'n-1AUSL(θ'n-1)-1} GAUS und {μθ00, .,
μθ
0AUSL(θ0)-1} . θn-10, ., μθn-1AUSL(θn-1)-1} GAUS gibt, so dass μ =
rμ*0. μ*AUSL(μ)-1^l und fur alle in: θ'i = rμθ'⅛∙ ∙ ∙ μθ',AUSL(θ',)-Γ und θi = rμθ. μθ,AUSL(θ,)-Γ.

Dann ist mit Theorem 1-5-(i)

rφ(μθ 00. μθ 0ausl(θ⅛)-1, ., μθ n^10∙∙∙ μθ n-1AUSL(θ',,,-1)-1Γ

rφ(μθ00. μθ0AUSL(θ0)-1, ., μθn^10. μθn-1AUSL(θn-1)-1)μ*0. μ*AUSL(μ)-1π

und damit mit Theorem 1-7-(i)



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