Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

14    1 Zum grammatischen Rahmen

Definition 1-10. Atomare, junktorale und quantorale Formeln (AFORM, JFORM, QFORM)
(i)   AFORM = {^rΦ(θo, .., θ )' | Φ ∈ PRA n-stelligund {θo, .., θn-1} ⊆ TERM},

(ii)   JFORM = {^r—Δ"¹ | Δ ∈ FORM} ∪ {^r(Δ₀ ψ Δ₁)"¹ | Δ₀, Δ₁ ∈ FORM und ψ ∈

JUNK∖{^r-^π}},

(iii) QFORM = {^rΠξΔ^^, | Δ ∈ FORM und Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR}.

Das folgende Theorem fuhrt direkt zur eindeutigen Lesbarkeit hin.

Theorem 1-9. Terme resp. Formeln haben keine Terme resp. Formeln als echte Anfangsaus-
drucke

(i) Wenn θ, θ' ∈ TERM und μ ∈ AUS, dann θ' ≠ ' θμ¹, und

(ii) Wenn Δ, Δ' ∈ FORM und μ ∈ AUS, dann Δ' ≠ ∖μ ¹.

Beweis: Zu (i): Seien θ, θ' ∈ TERM und μ ∈ AUS. Der Beweis wird mittels Induktion
uber AUSL(θ') gefuhrt. Gelte dazu die Behauptung fur alle θ* ∈ TERM mit AUSL(θ*) <
AUSL(θ'). Fur AUSL(θ') = 1, also θ' ∈ ATERM, gilt die Behauptung trivial, weil es nach
Postulat 1-2-(ii) keine θ, μ ∈AUS gibt, so dass θ' = ^rθμ^^l. Sei nun 1 < AUSL(θ'). Dann
gilt θ' ∉ ATERM, also θ' ∈ FTERM. Also gibt es n' ∈ N\{0} und φ' ∈ FUNK, wobei φ'
n'-stellig, und {θ'₀, ., θ^,_n∙_-ι} ⊆ TERM, so dass θ' = ^rφ'(θ'₀, ., θ'_n'_-ι)^^l. Ware nun θ' =
^rθμ^^l. Ware θ ∈ ATERM. Dann ware θ ∈ KONST ∪ PAR ∪ VAR und daher wurde nach
Theorem 1-7-(iii) mit ^rφ'(θ'₀, ., θ'_n'_-ι)^^l = θ' = ^rθμ^π gelten, dass φ' = θ ∈ KONST ∪ PAR
∪ VAR. Widerspruch! Also ist θ ∈ FTERM und es gibt n ∈ N\{o} und φ ∈ FUNK, wo-
bei φ n-stellig, und {θ₀, ..., θ_n-ι} ⊆ TERM, so dass θ = ^rφ(θ₀, ..., θ_n-ι)^π. Also ^rφ'(θ'₀, .,
θ'_n'_-ι)^π = ^rφ(θ₀, ., θ_n-ι)μ^π. Dann gilt mit Theorem 1-7-(iii) φ' = φ und damit nach
Definition 1-5 und Postulat 1-1-(iv) n = n'. Also ^rφ(θ'₀, ., θ'_n-1)^^l = ^rφ(θ₀, ., θ_n-1)μ^π,
wobei fur alle i < n auch gilt, dass AUSL(θ'i), AUSL(θi) < AUSL(θ').

Sodann gilt mit {μ} ∪ TERM ⊆ AUS, dass es {μ*0, ., μ*AUSL(μ)-1} ⊆ GAUS und
{μ^θ'00, ., μ^θ'0AUSL(θ'₀)-1} ∪ . ∪ {μ^θ'n-10, ., μ^θ'n-1AUSL(θ'_n-1)-1} ⊆ GAUS und {μ^θ00, .,
μ^θ0AUSL(θ₀)-1} ∪ . ∪ {μ^θn-10, ., μ^θn-1AUSL(θ_n-1)-1} ⊆ GAUS gibt, so dass μ =
^rμ*0. μ*AUSL(μ)-1^^l und fur alle i < n: θ'_i = ^rμ^θ'⅛∙ ∙ ∙ μ^θ'^,AUSL(θ',)-Γ und θ_i = ^rμ^θ⅛. μ^θ,AUSL(θ,)-Γ.

Dann ist mit Theorem 1-5-(i)

^rφ(μθ ⁰0. μθ ⁰ausl(θ⅛)-1, ., μθ ⁿ^¹0∙∙∙ μθ ^n-1AUSL(θ',,,-1)-1Γ

^rφ(μθ⁰0. μ^θ0AUSL(θ0)-1, ., μθⁿ^¹0. μθ^n-1AUSL(θn-1)-1)μ*0. μ*AUSL(μ)-1^π

und damit mit Theorem 1-7-(i)

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