14 1 Zum grammatischen Rahmen
Definition 1-10. Atomare, junktorale und quantorale Formeln (AFORM, JFORM, QFORM)
(i) AFORM = {rΦ(θo, .., θ )' | Φ ∈ PRA n-stelligund {θo, .., θn-1} ⊆ TERM},
(ii) JFORM = {r—Δ"1 | Δ ∈ FORM} ∪ {r(Δ0 ψ Δ1)"1 | Δ0, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈
JUNK∖{r-π}},
(iii) QFORM = {rΠξΔ^, | Δ ∈ FORM und Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR}.
Das folgende Theorem fuhrt direkt zur eindeutigen Lesbarkeit hin.
Theorem 1-9. Terme resp. Formeln haben keine Terme resp. Formeln als echte Anfangsaus-
drucke
(i) Wenn θ, θ' ∈ TERM und μ ∈ AUS, dann θ' ≠ ' θμ1, und
(ii) Wenn Δ, Δ' ∈ FORM und μ ∈ AUS, dann Δ' ≠ ∖μ 1.
Beweis: Zu (i): Seien θ, θ' ∈ TERM und μ ∈ AUS. Der Beweis wird mittels Induktion
uber AUSL(θ') gefuhrt. Gelte dazu die Behauptung fur alle θ* ∈ TERM mit AUSL(θ*) <
AUSL(θ'). Fur AUSL(θ') = 1, also θ' ∈ ATERM, gilt die Behauptung trivial, weil es nach
Postulat 1-2-(ii) keine θ, μ ∈AUS gibt, so dass θ' = rθμ^l. Sei nun 1 < AUSL(θ'). Dann
gilt θ' ∉ ATERM, also θ' ∈ FTERM. Also gibt es n' ∈ N\{0} und φ' ∈ FUNK, wobei φ'
n'-stellig, und {θ'0, ., θ,n∙-ι} ⊆ TERM, so dass θ' = rφ'(θ'0, ., θ'n'-ι)^l. Ware nun θ' =
rθμ^l. Ware θ ∈ ATERM. Dann ware θ ∈ KONST ∪ PAR ∪ VAR und daher wurde nach
Theorem 1-7-(iii) mit rφ'(θ'0, ., θ'n'-ι)^l = θ' = rθμπ gelten, dass φ' = θ ∈ KONST ∪ PAR
∪ VAR. Widerspruch! Also ist θ ∈ FTERM und es gibt n ∈ N\{o} und φ ∈ FUNK, wo-
bei φ n-stellig, und {θ0, ..., θn-ι} ⊆ TERM, so dass θ = rφ(θ0, ..., θn-ι)π. Also rφ'(θ'0, .,
θ'n'-ι)π = rφ(θ0, ., θn-ι)μπ. Dann gilt mit Theorem 1-7-(iii) φ' = φ und damit nach
Definition 1-5 und Postulat 1-1-(iv) n = n'. Also rφ(θ'0, ., θ'n-1)^l = rφ(θ0, ., θn-1)μπ,
wobei fur alle i < n auch gilt, dass AUSL(θ'i), AUSL(θi) < AUSL(θ').
Sodann gilt mit {μ} ∪ TERM ⊆ AUS, dass es {μ*0, ., μ*AUSL(μ)-1} ⊆ GAUS und
{μθ'00, ., μθ'0AUSL(θ'0)-1} ∪ . ∪ {μθ'n-10, ., μθ'n-1AUSL(θ'n-1)-1} ⊆ GAUS und {μθ00, .,
μθ0AUSL(θ0)-1} ∪ . ∪ {μθn-10, ., μθn-1AUSL(θn-1)-1} ⊆ GAUS gibt, so dass μ =
rμ*0. μ*AUSL(μ)-1^l und fur alle i < n: θ'i = rμθ'⅛∙ ∙ ∙ μθ',AUSL(θ',)-Γ und θi = rμθ⅛. μθ,AUSL(θ,)-Γ.
Dann ist mit Theorem 1-5-(i)
rφ(μθ 00. μθ 0ausl(θ⅛)-1, ., μθ n^10∙∙∙ μθ n-1AUSL(θ',,,-1)-1Γ
rφ(μθ00. μθ0AUSL(θ0)-1, ., μθn^10. μθn-1AUSL(θn-1)-1)μ*0. μ*AUSL(μ)-1π
und damit mit Theorem 1-7-(i)