Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



1.1 Inventar und Syntax


17


Dann ergibt sich mit Theorem 1-5-(i):

l^ 00. μΔ 0AUSL^'o)-^^ 10. Lδ 1AUSL(Δ'1)-1Γ

rμ''0u... μ .s       ψμ ... μ^AUSL(Δ1 )-1)μ*0∙.. μ*AUSL(μ)-1l .

Ware nun AUSL(Δ'0) < AUSL(Δ0). Dann gilt mit Theorem 1-5-(iii) fur alle j <
AUSL(Δ'0), dass μv = μΔoj, und damit nach Postulat 1-2-(i) Δ'0 = μλ' 0. μv aus , δl-Γ =
γliδ 0... liδ aus , δ-l-f. Damit gilt dann mit Theorem 1-6, dass
^oL^ausu V0)-■ ■ L^'ausu vl)-1l = ^^0.4^^^1.0^-^^(^1.07,).4^^(^1.(¼)-!1 =
4(4,... μΔo
AUSL(Δo)-1π = Δ0; im Widerspruch zur I.V. Bei AUSL(Δ0) < AUSL(Δ'0) ergibt
sich analog ein Widerspruch. Also AUSL(Δ'
0) = AUSL(Δ0). Damit gilt mit Theorem
1-5-(iii)
rLiv 0...μδ'ausi00-1 ψ' = Vu.Vauso )-4 und damit mit Theorem 1-7-(i)
auch
10--4^ 1AUSL(Δ'1)-1)^l = ^10- ∙ ∙ Lδ1AUSL(Δ1)-1)μ*0...μ*AUSL(μ)-Γ. Wie eben fur Δ'0, Δ0
zeigt man, dass AUSL(Δ'1) = AUSL(Δ1). Damit gilt dann aber mit Theorem 1-5-(iii), dass
Δ'
1 = Δ1, und damit mit Theorem 1-7-(i), dass T = r)μ*0...li*aus,fli-Γ, was Postulat
1-2-(ii) widerspricht.

Viertens: Sei nun Δ' QFORM. Dann gibt es Δ# FORM und Π' QUANT und ξ'
VAR, so dass Δ' = rΠ'ξ^^l, wobei AUSL(A) < AUSL(Δ'). Angenommen Δ' = rΔμ^l und
damit
rΔμ^l = rΠ'ξ^^l. Ware Δ AFORM JFORM. Dann gabe es μ' PRA {r-^l,
r(^l} und μ* AUS, so dass Δ = rμ'μ*^l. Also wurde mit Theorem 1-6 gelten rΠ'ξ^^l =
rΔμ^l = rμ'μ*μ^l und damit Π' = μ'. Also Π' PRA { r, rfl}. Widerspruch! Also Δ
QFORM und es gibt Δ+ FORM und Π QUANT und ξ VAR, so dass Δ = rΠξΔ+^l.
Also
rH'ξ'Δ = rΠξΔ+μπ. Mit Theorem 1-7-(iii) und -(i) gilt zunachst rξ'Δ = rξΔ+μπ
und schlieβlich Δ# = rΔ+μ^l, im Widerspruch zur I.V.

In allen vier Fallen fuhrt Δ' = rΔμπ zum Widerspruch. Also Δ' rΔμπ. ■



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