Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

20    1 Zum grammatischen Rahmen

^rθoμ'ausl(Θo). .. μ AusL(θ^,o)-ι^^l = ^rμ'o∙ ∙ ∙ μ AusL(θo)-ιμ'ausl(Θo)∙ ∙ ∙ μ AusL(θ^,o)-ι^^l = Θ'o, was Theorem
1-9-(i) widerspricht. Ebenso folgt ein Widerspruch fur AUSL(θ'₀) < AUSL(θ₀). Also gilt,
dass AUSL(θo) = AUSL(θ'o) und somit mit Theorem 1-5-(iii) auch θo = θ'o.

Angenommen o < i. Dann gilt fur alle k < i: k < n. Mit I.V. gilt mithin fur alle k < i,
dass k < П und θ_k = θ'_k. Dann gilt mit Theorem 1-5-(iii), dass ^rθ₀, ., θ_i-Γ = ^rθ'₀, .,
θ'_i-Γ. Auβerdem gilt, dass i-1 < n' und somit, dass i ≤ n'. Ware i = n'. Dann ware ^rθ₀, .,
θ_i-Γ = ^rθ'₀, ..., θ^,_n∙-Γ. Mit Theorem 1-7-(i) ware dann jedoch ^r, θ_i, .., θ_n-1)^^l = ^r)^π, was
Postulat 1-2-(ii) widerspricht. Also gilt i < n'. Damit ergibt sich wiederum mit Theorem
1-7-(i), dass ^rθ_i, ., θ_n-1)^^l = ^rθ'_i, ., θ'_n,_-1)^π. Daraus ergibt sich θ_i = θ'_i in derselben Weise
wie θo = θ,o fur i = o. Also gilt fur alle i < n, dass i < n, und θi = θ,i. Analog zeigt man,
dass fur alle i < n, gilt: i < n und θ,i = θi. Zusammen ergibt sich damit dann, dass n = n,
und dass fur alle i < n: θi = θ,i.

Drittens: Sei μ ∈ QUANTOR. Dann gibt es nach Definition 1-8 Π ∈ QUANT und ξ ∈
VAR, so dass μ = ^rΠξ^^l. Seien nun auch Π' ∈ QUANT, ξ' ∈ VAR, so dass μ = ^rΠ'ξ'^^l.
Aus Theorem 1-7-(iii) und -(i) folgt sofort Π = Π, und ξ = ξ,.

Viertens: Sei μ ∈ AFORM. Dann gibt es nach Definition 1-10-(i) n ∈ N∖{0}, Φ ∈ PRA
und {θ₀, ., θ_n-1} ⊆ TERM, so dass μ = ^rΦ(θ₀, ., θ_n-1)^^l. Seien nun auch n' ∈ N∖{0}, Φ'
∈ PRA und {θ'₀, ., θ'_n,_-1} ⊆ TERM, so dass μ = ^rΦ'(θ'₀, ., θ'_n,_-1)^π. Φ = Φ' ergibt sich
aus Theorem 1-7-(iii). Damit gilt dann mit Theorem 1-7-(i), dass ^rθ₀, ., θ_n-1)^^l = ^rθ'₀, .,
θ'_n,_-1)^^l. Daraus ergibt sich wie im zweiten Fall, dass n = n' und dass fur alle i < n: θi = θ'_i.

Funftens: Sei μ ∈ {^r-Δ^^l | Δ ∈ FORM}. Dann gibt es Δ ∈ FORM, so dass μ = ^r—Δ^^l.
Sei nun auch Δ' ∈ FORM, so dass μ = ^r— Δ'^^l. Aus Theorem 1-7-(i) folgt sofort Δ = Δ'.

Sechstens: Sei μ ∈ {^r(Δ₀ ψ Δ₁)^^l | Δ₀, Δ₁ ∈ FORM und ψ ∈ JUNK∖{^r-^^l}}. Dann gibt
es Δ₀, Δ₁ ∈ FORM und ψ ∈ JUNK∖{ ^r-^^l}, so dass μ = ^r(Δ₀ ψ Δ₁)^^l. Seien nun auch Δ'₀,
Δ'₁ ∈ FORM und ψ' ∈ JUNK∖{^r-^^l}, so dass μ = ^r(Δ'₀ ψ' Δ'₁)^^l. Dann gilt zunachst mit
Theorem 1-7-(i) ^γΔo ψ Δ1)^^l = ^γΔ'o ψ' Δ'1)^^l. Sodann gibt es {μo, ., μAUSL(∆0)-1} ∪ {μ'o, .,
μ'AUSL(∆'₀)-1} ⊆ GAUS, so dass Δo = Γμo.μAUSL(∆₀)-1^^l und Δ'o = Γμθ.μ'AUSL(∆'₀)-Γ. Ware
AUSL(Δo) < AUSL(Δ'o). Dann ware mit Theorem 1-5-(iii) μi = μ'i fur alle i < AUSL(Δo).
Damit ware dann nach nach Postulat 1-2-(i) Δ₀ = Γμ₀. μ_AUSL(_Δo)_-1^^l = Γμ'₀. li'_a∣∙_si , _δ ._l-f.
Mit Theorem 1-6 ware dann aber    ^^_АШІ^). m'ausi.( δ )ʃ =

Γμ'θ. μ'AUSL(Δ0)-1μ'AUSL(Δ0). μ'AUSL(Δ⅛)-1^^l = ^rμ'θ. μ'AUSL(Δ'o)-1^^l = ^δ'o^{, ent}g^eg^en T^heorem
1-9-(ii). Fur AUSL(Δ'₀) < AUSL(Δ₀) ergibt sich auf analoge Weise ein Widerspruch.

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