1.1 Inventar und Syntax 21
Also AUSL(Δ0) = AUSL(Δ'0) und damit Δ0 = Δ'0. Mit Theorem 1-7 gilt dann rψ Δ1)^l =
rψ' Δ'1)^l, dann ψ = ψ', weiter rΔ1)^l = rΔ'1)^l und schlieβlich Δ1 = Δ'1.
Siebtens: Sei μ ∈ QFORM. Dann gibt es nach Definition 1-10-(iii) Π ∈ QUANT, ξ ∈
VAR und Δ ∈ FORM, so dass μ = rΠξΔ^l. Seien nun auch Π' ∈ QUANT, ξ' ∈ VAR, Δ' ∈
FORM, so dass μ = rΠ'ξ'Δπ. Aus Theorem 1-7-(iii) und -(i) folgt sofort Π = Π' und ξ = ξ'
und Δ = Δ'. ■
Nach Theorem 1-10 und Theorem 1-11 lassen sich nun in der ublichen Weise Funktionen
auf den Mengen TERM, FORM und ihrer Vereinigungsmenge uber den induktiven Auf-
bau der Terme und Formeln definieren. Die folgenden Term- und Formelgraddefinitionen
(Definition 1-11 und Definition 1-12) erlauben es, Eigenschaften von Formeln und Ter-
men durch Beweise mittels Induktion uber die naturlichen Zahlen in bequemerer Weise
zu fuhren als dies unter Ruckgriff auf AUSL moglich ist.
Definition 1-11. Termgrad8 (TGRAD)
TGRAD ist eine Funktion auf TERM und
(i) Wenn θ ∈ ATERM, dann TGRAD(θ) = 0,
(ii) Wenn rφ(θ0, .., θn,ι)^l ∈ FTERM, dann
TGRAD( rφ(θo, ..., θn,ʃ) = max({TGRAD(θo), ..., TGRAD(θn,1)})+1.
Definition 1-12. Formelgrad (FGRAD)
FGRAD ist eine Funktion auf FORM und
(i) Wenn Δ ∈ AFORM, dann FGRAD(Δ) = 0,
(ii) Wenn r-Δ^, ∈ JFORM, dann FGRAD( Δ1) = FGRAD(Δ)+1,
(iii) Wenn r(Δ0 ψ Δ∙)1 ∈ JFORM, dann
FGRAD(r(Δ0 ψ Δ1D = maχ({FGRAD(Δ0), FGRAD(Δ1)})+1,
(iv) Wenn rΠξΔ^, ∈ QFORM, dann FGRAD( rΠξΔ^,) = FGRAD(Δ)+1.
Fur den Identitatspradikator wird im Weiteren die ubliche Infixnotation ohne Klammern
verwendet, also l^θ = θ*^l fur l^=(θ, θ*)^l. Auch werden bei Formeln oft die auβeren
Klammern weggelassen, also rΑ ψ Β^l fur r(Α ψ Β)^l. Mit Definition 1-13 konnen nun die
'min(..)' sei fur nicht-leere Teilmengen von N und 'max(..)' fur nicht-leere und endliche Teilmengen von
N wie ublich definiert. Falls X keine nicht-leere Teilmenge von N ist, sei min(X) = 0, und falls X keine
nicht-leere endliche Teilmenge von N ist, sei auch max(X) = 0.
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