Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

1.1 Inventar und Syntax 23

Theorem 1-12. Eindeutige Kategorie und eindeutige Zerlegbarkeit fur Satze

Wenn Σ ∈ SATZ, dann Σ ∉ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM und

(i) Σ ∈ ASATZ und Σ ∉ FSATZ und es gibt Γ ∈ GFORM, so dass Σ = ^rSei Γ und fur
alle Γ' ∈ GFORM mit Σ = rSei Γ' ∣ gilt: Γ = Γ', oder

(ii) Σ ∈ FSATZ und Σ ∉ ASATZ und es gibt Γ ∈ GFORM, so dass Σ = rAlso Γ und fur
alle Γ' ∈ GFORM mit Σ = rAlso Γ' ∣ gilt: Γ = Γ'.

Beweis: Sei Σ ∈ SATZ. Also gibt es Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM, so dass Σ = ^rΞΓ. Wa-
re Σ ∈ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM, dann ware Σ ∈ ATERM oder Σ ∈ FTERM ∪
QUANTOR ∪ FORM. Im ersten Falle ware im Widerspruch zu Postulat 1-2-(ii) Σ ∈
GAUS. Im zweiten Falle gabe es μ ∈ FUNK ∪ QUANT ∪ PRA ∪ {r-^^l, ^r(^π} und μ' ∈
AUS, so dass Σ = rμμ'^^l. Damit ware Ξ = μ und mithin Ξ ∈ FUNK ∪ QUANT ∪ PRA ∪
{r-^^l, r(,}, im Widerspruch zu Postulat 1-1. Also Σ ∉ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM.

Wenn nun Σ ∈ SATZ, dann mit Postulat 1-1-(viii) Σ ∈ ASATZ oder Σ ∈ FSATZ. Es
werden diese zwei Falle unterschieden. Erstens: Sei Σ ∈ ASATZ. Dann gibt es Γ ∈
GFORM, so dass Σ = rSei Γ∣. Ware daruber hinaus Σ ∈ FSATZ, dann gabe es Γ*, so
dass Σ = rAlso Γ*∣ und nach Theorem 1-7-(iii) rSei∣ = rAlso∣. Dann ware entgegen
Postulat 1-1-(viii) {^rSeΓ, rAlso∣} keine Zweiermenge. Also Σ ∉ FSATZ. Sei nun auch
Γ' ∈ GFORM, so dass Σ = rSei Γ'∣. Also rSei Γ∣ = rSei Γ'∣. Mit Theorem 1-7-(i) folgt
sofort Γ = Γ'.

Zweitens: Sei Σ ∈ FSATZ. Dann gibt es Γ ∈ GFORM, so dass Σ = rAlso Γ∣. Ware nun
auch Σ ∈ ASATZ, dann ergabe sich analog zum ersten Fall ein Widerspruch. Also Σ ∉
ASATZ. Sei nun auch Γ' ∈ GFORM, so dass Σ = rAlso Γ'∣. Also rAlso Γ = rAlso Γ'∣.
Mit Theorem 1-7-(i) folgt sofort Γ = Γ'. ■

Nach Theorem 1-12 lassen sich nun auch Funktionen auf der Menge TERM ∪ FORM ∪
SATZ in der ublichen Weise uber den Aufbau der Terme, Formeln und Satze definieren.

Definition 1-18. Satzaussagenzuordnung (A)

A = {(^rST, Γ) | Ξ ∈ PERF und Γ ∈ GFORM}.

Hinweis: Mit Definition 1-16 und Theorem 1-12 ergibt sich sofort, dass A eine Funktion
auf SATZ ist. Daher wird im Weiteren die Funktionsschreibweise verwendet: A(rΞΓ∣) =
Γ. Die Menge der Grundausdrucke und die definierten grammatischen Kategorien konnen
nun als die eigentlichen Ausdrucke zusammengefasst werden.

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