Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



1.1 Inventar und Syntax 23

Theorem 1-12. Eindeutige Kategorie und eindeutige Zerlegbarkeit fur Satze

Wenn Σ SATZ, dann Σ TERM QUANTOR FORM und

(i) Σ ASATZ und Σ FSATZ und es gibt Γ GFORM, so dass Σ = rSei Γ und fur
alle Γ'
GFORM mit Σ = rSei Γ' gilt: Γ = Γ', oder

(ii) Σ FSATZ und Σ ASATZ und es gibt Γ GFORM, so dass Σ = rAlso Γ und fur
alle Γ'
GFORM mit Σ = rAlso Γ' gilt: Γ = Γ'.

Beweis: Sei Σ SATZ. Also gibt es Ξ PERF und Γ GFORM, so dass Σ = rΞΓ. Wa-
re Σ
TERM QUANTOR FORM, dann ware Σ ATERM oder Σ FTERM
QUANTOR FORM. Im ersten Falle ware im Widerspruch zu Postulat 1-2-(ii) Σ
GAUS. Im zweiten Falle gabe es μ FUNK QUANT PRA {r-^l, r(π} und μ'
AUS, so dass Σ = rμμ'^l. Damit ware Ξ = μ und mithin Ξ FUNK QUANT PRA
{r-^l, r(,}, im Widerspruch zu Postulat 1-1. Also Σ TERM QUANTOR FORM.

Wenn nun Σ SATZ, dann mit Postulat 1-1-(viii) Σ ASATZ oder Σ FSATZ. Es
werden diese
zwei Falle unterschieden. Erstens: Sei Σ ASATZ. Dann gibt es Γ
GFORM, so dass Σ = rSei Γ. Ware daruber hinaus Σ FSATZ, dann gabe es Γ*, so
dass Σ =
rAlso Γ*und nach Theorem 1-7-(iii) rSei= rAlso. Dann ware entgegen
Postulat 1-1-(viii) {
rSeΓ, rAlso} keine Zweiermenge. Also Σ FSATZ. Sei nun auch
Γ'
GFORM, so dass Σ = rSei Γ'. Also rSei Γ= rSei Γ'. Mit Theorem 1-7-(i) folgt
sofort Γ = Γ'.

Zweitens: Sei Σ FSATZ. Dann gibt es Γ GFORM, so dass Σ = rAlso Γ. Ware nun
auch Σ
ASATZ, dann ergabe sich analog zum ersten Fall ein Widerspruch. Also Σ
ASATZ. Sei nun auch Γ' GFORM, so dass Σ = rAlso Γ'. Also rAlso Γ = rAlso Γ'.
Mit Theorem 1-7-(i) folgt sofort Γ = Γ'. ■

Nach Theorem 1-12 lassen sich nun auch Funktionen auf der Menge TERM FORM
SATZ in der ublichen Weise uber den Aufbau der Terme, Formeln und Satze definieren.

Definition 1-18. Satzaussagenzuordnung (A)

A = {(rST, Γ) | Ξ PERF und Γ GFORM}.

Hinweis: Mit Definition 1-16 und Theorem 1-12 ergibt sich sofort, dass A eine Funktion
auf SATZ ist. Daher wird im Weiteren die Funktionsschreibweise verwendet: A(
rΞΓ) =
Γ. Die Menge der Grundausdrucke und die definierten grammatischen Kategorien konnen
nun als die eigentlichen Ausdrucke zusammengefasst werden.



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