Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



1.1 Inventar und Syntax


19


Theorem 1-11. Eindeutige Lesbarkeit ohne Satze (b - Eindeutige Zerlegbarkeit)

Wenn μ TERM QUANTOR FORM, dann:

(i) μ ATERM oder

(ii) μ FTERM und es gibt n N{0}, φ FUNK und {θ0, .., θn-} TERM, so dass μ
=
rφ(θ0, .., θ,,-fl und fur alle n' N{0}, φ' FUNK und {θ'0, .., θ'n'-1} TERM
mit μ =
rφ'(θ'0, ..., θ'n'-ʃ gilt: n = n' und φ = φ' und fur alle in: θi = θ'i, oder

(iii) μ QUANTOR und es gibt Π QUANT und ξ VAR, so dass μ = rΠξ^l und fur
alle Π'
QUANT und ξ' VAR mit μ = rΠ'ξn gilt: Π = Π' und ξ = ξ', oder

(iv)   μ AFORM und es gibt n N{0}, Φ PRA und {θ0, ., θn-} TERM, so dass μ

= rΦ(θ0, ., θ,,-fl und fur alle n' N{0}, Φ' PRA und {θ'0, ., θ'n'-1} TERM

mit μ = rΦ'(θ'0, ., θ'n'-1)^l gilt: n = n' und Φ = Φ' und fur alle i n: θi = θ'i, oder

(v)   μ { r-Δπ | Δ FORM} und es gibt Δ FORM, so dass μ = r-Δ^η und fur alle Δ'

FORM mit μ = r- Δπ gilt: Δ = Δ', oder

(vi) μ {r0 ψ Δι)π | Δ0, Δι FORM und ψ JUNK{r-π}} und es gibt Δo, ʌɪ
FORM und ψ JUNK{r-π}, so dass μ = r0 ψ Δ1)^l und fur alle Δ'0, Δ'1 FORM
und ψ'
JUNK{ r-π } mit μ = r(Δ'0 ψ' Δ'1)^l gilt: Δ0 = Δ'0 und Δ1 = Δ'1 und ψ = ψ',
oder

(vii) μ QFORM und es gibt Π QUANT, ξ VAR und Δ FORM, so dass μ = rΠξΔ^l
und fur alle Π' QUANT, ξ' VAR und Δ' FORM mit μ = rΠ'ξ'Δr, gilt: Π = Π'
und ξ = ξ' und Δ = Δ'.

Beweis: Sei μ TERM QUANTOR FORM. Also μ ATERM FTERM
QUANTOR AFORM {r-Δπ | Δ FORM} {r0 ψ Δι)π | Δ0, ʌɪ FORM und ψ
JUNK{r-^l}} QFORM. Es werden diese sieben Falle unterschieden. Erstens: An-
genommen μ
ATERM. Damit ist (i) trivial erfullt.

Zweitens: Sei μ FTERM. Dann gibt es nach Definition -6 und Definition -7 n ∈
N∖
{0}, φ FUNK und {θ0, ., θn-1} TERM, so dass μ = rφ(θ0, ., θn-1)π. Seien nun
auch
n ∈ N∖{0}, φ' FUNK und {θ'0, ., θ'n'-1} TERM, so dass μ = rφ'(θ'0, ., θ'n'-1)^l.
φ = φ' folgt mit Theorem 1-7-(iii). Mit Theorem 1-7-(i) folgt damit
rθ0, ., θ-Γ =
rθ'0, ., θ'n'-1)π. Dann lasst sich durch Induktion uber i zeigen, dass fur alle i ∈ N gilt:
Wenn
i n, dann i n' und θi = θ'i. Gelte dazu die Behauptung fur alle k i. Angenom-
men
i n. Angenommen i = 0. Dann gilt, dass 0 < n'. Auβerdem gilt, dass es {μ0, .,
μ
AUSL(θ0)-1} {μ'0, ∙∙∙, μ'AUSL(θ'0)-1} GAUS gibt, so dass θ0 = l^μ0∙∙∙ μAUSL(θ0)-1^l and θ'0 =
rμo.μ'AUSL(θ'0)-ι^l und somit mit Theorem 1-6 rμ0. μAUSL(θ0)-ι, ., θn)^l =
rμ'o.μAUSL<θ'o)-b ., θ'n'-1)π. Ware AUSL(θ0) < AUSL(θ'0). Dann ware mit Theorem
-5-(iii) fur alle l < AUSL(θ0) μl = μ'l und damit nach Postulat -2-(i) θ0 =
rμ0. liλ-s ,θ ∙-Γ = rμ'0. li'aus,∙θ -C. Damit ware dann aber mit Theorem 1-6



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