1.1 Inventar und Syntax
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Theorem 1-11. Eindeutige Lesbarkeit ohne Satze (b - Eindeutige Zerlegbarkeit)
Wenn μ ∈ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM, dann:
(i) μ ∈ ATERM oder
(ii) μ ∈ FTERM und es gibt n ∈ N∖{0}, φ ∈ FUNK und {θ0, .., θn-∣} ⊆ TERM, so dass μ
= rφ(θ0, .., θ,,-∣fl und fur alle n' ∈ N∖{0}, φ' ∈ FUNK und {θ'0, .., θ'n'-1} ⊆ TERM
mit μ = rφ'(θ'0, ..., θ'n'-ʃ gilt: n = n' und φ = φ' und fur alle i < n: θi = θ'i, oder
(iii) μ ∈ QUANTOR und es gibt Π ∈ QUANT und ξ ∈ VAR, so dass μ = rΠξ^l und fur
alle Π' ∈ QUANT und ξ' ∈ VAR mit μ = rΠ'ξn gilt: Π = Π' und ξ = ξ', oder
(iv) μ ∈ AFORM und es gibt n ∈ N∖{0}, Φ ∈ PRA und {θ0, ., θn-∣} ⊆ TERM, so dass μ
= rΦ(θ0, ., θ,,-∣fl und fur alle n' ∈ N∖{0}, Φ' ∈ PRA und {θ'0, ., θ'n'-1} ⊆ TERM
mit μ = rΦ'(θ'0, ., θ'n'-1)^l gilt: n = n' und Φ = Φ' und fur alle i < n: θi = θ'i, oder
(v) μ ∈ { r-Δπ | Δ ∈ FORM} und es gibt Δ ∈ FORM, so dass μ = r-Δ^η und fur alle Δ' ∈
FORM mit μ = r- Δπ gilt: Δ = Δ', oder
(vi) μ ∈ {r(Δ0 ψ Δι)π | Δ0, Δι ∈ FORM und ψ ∈ JUNK∖{r-π}} und es gibt Δo, ʌɪ ∈
FORM und ψ ∈ JUNK∖{r-π}, so dass μ = r(Δ0 ψ Δ1)^l und fur alle Δ'0, Δ'1 ∈ FORM
und ψ' ∈ JUNK∖{ r-π } mit μ = r(Δ'0 ψ' Δ'1)^l gilt: Δ0 = Δ'0 und Δ1 = Δ'1 und ψ = ψ',
oder
(vii) μ ∈ QFORM und es gibt Π ∈ QUANT, ξ ∈ VAR und Δ ∈ FORM, so dass μ = rΠξΔ^l
und fur alle Π' ∈ QUANT, ξ' ∈ VAR und Δ' ∈ FORM mit μ = rΠ'ξ'Δr, gilt: Π = Π'
und ξ = ξ' und Δ = Δ'.
Beweis: Sei μ ∈ TERM ∪ QUANTOR ∪ FORM. Also μ ∈ ATERM ∪ FTERM ∪
QUANTOR ∪ AFORM ∪ {r-Δπ | Δ ∈ FORM} ∪ {r(Δ0 ψ Δι)π | Δ0, ʌɪ ∈ FORM und ψ
∈ JUNK∖{r-^l}} ∪ QFORM. Es werden diese sieben Falle unterschieden. Erstens: An-
genommen μ ∈ ATERM. Damit ist (i) trivial erfullt.
Zweitens: Sei μ ∈ FTERM. Dann gibt es nach Definition ∣-6 und Definition ∣-7 n ∈
N∖{0}, φ ∈ FUNK und {θ0, ., θn-1} ⊆ TERM, so dass μ = rφ(θ0, ., θn-1)π. Seien nun
auch n ∈ N∖{0}, φ' ∈ FUNK und {θ'0, ., θ'n'-1} ⊆ TERM, so dass μ = rφ'(θ'0, ., θ'n'-1)^l.
φ = φ' folgt mit Theorem 1-7-(iii). Mit Theorem 1-7-(i) folgt damit rθ0, ., θ∙-∣Γ =
rθ'0, ., θ'n'-1)π. Dann lasst sich durch Induktion uber i zeigen, dass fur alle i ∈ N gilt:
Wenn i < n, dann i < n' und θi = θ'i. Gelte dazu die Behauptung fur alle k < i. Angenom-
men i < n. Angenommen i = 0. Dann gilt, dass 0 < n'. Auβerdem gilt, dass es {μ0, .,
μAUSL(θ0)-1} ∪ {μ'0, ∙∙∙, μ'AUSL(θ'0)-1} ⊆ GAUS gibt, so dass θ0 = l^μ0∙∙∙ μAUSL(θ0)-1^l and θ'0 =
rμo.μ'AUSL(θ'0)-ι^l und somit mit Theorem 1-6 rμ0. μAUSL(θ0)-ι, ., θn-ι)^l =
rμ'o.μAUSL<θ'o)-b ., θ'n'-1)π. Ware AUSL(θ0) < AUSL(θ'0). Dann ware mit Theorem
∣-5-(iii) fur alle l < AUSL(θ0) μl = μ'l und damit nach Postulat ∣-2-(i) θ0 =
rμ0. liλ∣-s∣ ,θ ∙∣-Γ = rμ'0. li'aus∣,∣∙θ ∣-C. Damit ware dann aber mit Theorem 1-6
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