Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

16    1 Zum grammatischen Rahmen

PRA und {θ'o, ..., θ'n∙-ι} ⊆ TERM, so dass Δ' = ^rΦ'(θ'o, ..., θ'_rf-1)^π. Ware Δ ∈ JFORM ∪
QFORM. Dann gabe es μ' ∈ {^r—^^l, ^r(^^l} ∪ QUANT und μ* ∈ AUS, so dass Δ = ^rμ'μ*^^l.
Also wurde mit Theorem 1-6 gelten ^rΦ'(θ'₀, ., θ'_n'_-1)^^l = Δ' = ^rΔμ^^l = ^rμ'μ*μ^^l und damit
nach Theorem 1-7-(iii) Φ' = μ'. Also Φ' ∈ {^r-^^l, ^rf } ∪ QUANT. Widerspruch! Also Δ ∉
JFORM ∪ QFORM, sondern Δ ∈ AFORM. Damit gibt es n ∈ N\{0} und Φ ∈ PRA, Φ n-
stellig, und {θo, ., θn-ι} ⊆ TERM, so dass Δ = ^rΦ(θo, ., θn-1)^π. Also ^rΦ'(θ'o, ., θ'_n4)^π
= ^rΦ(θ₀, ., θ_n-1)μ¹. Dann gilt mit Theorem 1-7-(iii) Φ' = Φ und damit nach Definition
1-5 und Postulat 1-1-(v) n = n'. Also ^rΦ(θ'₀, ., θ'_n-1)^^l = ^rΦ(θ₀, ., θ_n-1)μ^π. Ab hier lauft
der Beweis fur Δ' ∈ AFORM vollkommen analog zum Induktionsschritt fur (i), wobei der
resultierende Widerspruch hier nicht mit der I.V., sondern mit (i) besteht.

Zweitens: Sei nun Δ' ∈ {^r— Δ*^^l | Δ* ∈ FORM}. Dann gibt es A# ∈ FORM, so dass Δ' =
^r—Δ#^π, wobei ΛUSL(Δ ) < AUSL(Δ'). Angenommen Δ' = ^rΔμ^π und damit ^rΔμ^π =
^r V. Ware Δ ∈ AFORM ∪ {^r(Δo ψ Δ1)^π | Δ_o, Δ1 ∈ FORM und ψ ∈ JUNK∖{ ^r-^π}} ∪
QFORM. Dann gabe es μ' ∈ PRA ∪ {r(^^l} ∪ QUANT und μ* ∈ AUS, so dass Δ =
rμ'μ*^^l. Also wurde mit Theorem 1-6 gelten r—Δ#^π = rΔμ^^l = rμ'μ*μ^^l und damit nach
Theorem 1-7-(iii) r-^^l = μ'. Also r—^^l ∈ PRA ∪ {r(^^l} ∪ QUANT. Widerspruch! Also Δ
∈ {r—Δ*^π | Δ* ∈ FORM} und es gibt Δ⁺ ∈ FORM, so dass Δ = r—Δ⁺^^l. Also r—Δ#^π =
r—Δ⁺μ^π. Mit Theorem 1-7-(i) gilt Δ# = r∖' lΔ, im Widerspruch zur I.V.

Drittens: Sei nun Δ' ∈ {r(Δ₀ ψ Δ₁)^^l | Δ₀, Δ₁ ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{r—ⁿ }}. Dann
gibt es Δ'₀, Δ'₁ ∈ FORM und ψ' ∈ JUNK\{r—^^l}, so dass Δ' = ^r(Δ^,₀ ψ' Δ'₁)^^l, wobei
AUSL(Δ'o) < AUSL(Δ') und AUSL(Δ'1) < AUSL(Δ'). Angenommen Δ' = r∙∖ιΓ und damit
rΔμ^π = r(Δ'o ψ' Δ'1)^π. Ware Δ ∈ AFORM ∪ {r—Δ*^π | Δ* ∈ FORM} ∪ QFORM. Dann
gabe es μ' ∈ PRA ∪ {r—^^l} ∪ QUANT und μ* ∈ AUS, so dass Δ = rμ'μ*^^l. Also wurde
mit Theorem 1-6 gelten ^r(Δ'₀ ψ' Δ'₁)~^l = Δ' = rΔμ^π = rμ'μ*μ^^l und damit nach Theorem
1-7-(iii) r(^^l = μ'. Also r(^^l ∈ PRA ∪ {r—ⁿ} ∪ QUANT. Widerspruch! Also Δ ∈ {r(Δ₀ ψ
Δ₁)^^l | Δ₀, Δ₁ ∈ FORM und ψ ∈ JUNK\{r—^^l}} und es gibt Δ₀, Δ₁ ∈ FORM und ψ ∈
JUNK\{r—ⁿ}, so dass Δ = r(Δo ψ Δ1)^π, wobei AUSL(Δo), AUSL(Δ1) < AUSL(Δ'). Also
r(Δ'₀ ψ' Δ'₁)~^l = r(Δ₀ ψ Δ₁)μ^π. Mit Theorem 1-7-(i) gilt rΔ'₀ ψ' Δ'₁)~^l = rΔ₀ ψ Δ₁)μ^π. So-
dann gilt mit {μ} ∪ FORM ⊆ AUS, dass es {μ*0, ., μ*AUSL(μ)-1} ⊆ GAUS und {μ^Δ,00,
., μ^{Δ 0}AUSL(Δ,0)-1} ∪ {μ^{Δ 1}0, ., μ^{Δ 1}AUSL(Δ,1)-1} ⊆ GAUS und {μ^Δ00, ., μ^Δ0AUSL(Δ0)-1} ∪
{μ%, ., μ^ΔɪAusL(∆1)-1} ⊆ GAUS gibt, so dass μ = ^rμ*o. μ*AUSiχμ)-Γ und fur alle i < 2: Δ'_i
= ^rμ^Δ’o..^'ausl(Δ',)-1^{π und} ʌi = ^rμ^Δ'o. μ^Δ'AUSL(∆,)-1^∏ .

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