Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



1.1 Inventar und Syntax


15


rμθoo. μθoausl(θ'o)-i, ..., μθn-10... μθ'n-1AUSL(θ',,,-1)-1)π

rμθoo... μθθAusL(o)-ι, ■■■, μθn-1o■■■ μθn-1AUSL(θn-1)-1)μ*o■■■ μ*AusL(μ)-ιπ.

Ware nun AUSL(θ'i) = AUSL(θi) fur alle i < n. Dann ware mit Theorem 1-5-(iii) und
Theorem 1-7-(i)
r)π = ^ц^.-.ц^шад-Г, wahrend andererseits mit Postulat 1-2-(ii) gilt:
У ≠ ^ц^-^Ашад-Г- Widerspruch! Also gibt es ein kleinstes i mit AUSL(θ'
i) ≠
AUSL(θ
i). Sei i so und zunachst AUSL(θ'i) < AUSL(θi). Angenommen i = o. Dann ergibt
sich mit Theorem 1-5-(iii) fur alle
j < AUSL(θ'o), dass μθ'oj = μθoj und damit nach Postulat
1-2-(i): θ'
o = rμθ'ooθ'oAusL(θ⅛)-ιπ = rμθoo∙∙.μθoAusL(θ'o)-Γ. Wegen AUSL(θ'o) < AUSL(θo)
gilt dann aber mit Theorem 1-6, dass
rθ'oμθ ausi.(θ'i... μθoAUSL(θo)-Γ =
rμθoo...μθoAUSL(θ'o)-1μθoAUSL(θ'o)θoAUSL(θo)-1^l = rμθooθoAUSL(θo)-1π = θo, im Widerspruch
zur I.V. Angenommen
i > o. Dann gilt mit Theorem 1-5-(iii):

rμθ oo. μθ oAUSL(θ'o)-1, ∙ ∙, μθ i-1o ■■■ μθ i-1AUSL(θ'i-ι)-1 ,"l

rμθoo∙ μθoAUSL(θo)-1, ∙ ∙, μθi-1o∙ ∙ ∙ μθi-1AUSL(θi-ι)-1,π.

Also mit Theorem 1-7-(i):

rμθ io . μθ iAUSL(θ'i)-1, ∙ ∙, μθ n-1o∙ μθ n-1AUSL(θ',,,-1)-1Γ

rμθiO. μθiAUSL(θi)-1, ., μθn-1o. μθ'n-1AUSL(θn-1)-1)μ*O∙ ∙ ∙ μ*AUSL(μ)-1^ .

Mit Theorem 1-5-(iii) gilt sodann fur alle j < AUSL(θ'i), dass μθ'ij = μθij und damit nach
Postulat 1-2-(i): θ'
i = rμθ'io...μθ'iAUSL(θ'i)-Γ = rμθio∙..μθiAUSL(θ'i)-Γ. Wegen AUSL(θ'i) <
AUSL(θ
i) gilt dann aber mit Theorem 1-6, dass rθ'μθ ausi l∙θA... μθiAUSL(θi)-Γ =
rμθio. μθiAUSL(θ'i)-1μθiAUSL(θ'i). μθiAUSL(θ,)-1π = rμθio∙ ∙ ∙ μθiAUSL(θi)-1^l = θi, ebenfalls im Wider-
spruch zur I.V. Bei AUSL(θ
i) < AUSL(θ'i) ergibt sich analog ein Widerspruch. Also fuhrt
die Annahme, dass θ' =
rθμπ fur ein θ TERM, zum Widerspruch.

Zu (ii): Seien nun Δ, Δ' FORM und μ AUS. Der Beweis wird mittels Induktion
uber AUSL(Δ') gefuhrt. Gelte dazu die Behauptung fur alle Δ*
FORM mit AUSL(Δ*)
< AUSL(Δ'). Mit Δ'
FORM gilt Δ' AFORM {r-Δ*π | Δ* FORM} {ro ψ
Δ
ι)^l | Δo, Δι FORM und ψ JUNK{r—^l}} QFORM. Diese vier Falle werden nun
unterschieden.

Erstens: Sei Δ' AFORM. Der Beweis wird analog zum Induktionsschritt fur (i) unter
Ruckgriff auf (i) gezeigt. Angenommen Δ' =
rΔμπ. Also gibt es n' N{O} und Φ'



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