Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

^rμθ^oo. μθ^oausl(θ'o)-i, ..., μθ^n-10... μθ'^n-1AUSL(θ',,,-1)-1)^π

^rμθ^oo... μθ^θAusL(∣o)-ι, ■■■, μθ^n-1o■■■ μθ^n-1AUSL(θn-1)-1)μ*o■■■ μ*AusL(μ)-ι^π.

Ware nun AUSL(θ'_i) = AUSL(θ_i) fur alle i < n. Dann ware mit Theorem 1-5-(iii) und
Theorem 1-7-(i) ^r)^π = ^ц^.-.ц^шад-Г, wahrend andererseits mit Postulat 1-2-(ii) gilt:
У ≠ ^ц^-^Ашад-Г- Widerspruch! Also gibt es ein kleinstes i mit AUSL(θ'_i) ≠
AUSL(θi). Sei i so und zunachst AUSL(θ'i) < AUSL(θi). Angenommen i = o. Dann ergibt
sich mit Theorem 1-5-(iii) fur alle j < AUSL(θ'o), dass μ^θ'oj = μ^θoj und damit nach Postulat
1-2-(i): θ'o = ^rμθ'^oo.μθ'^oAusL(θ⅛)-ι^π = ^rμθ^oo∙∙.μθ^oAusL(θ'o)-Γ. Wegen AUSL(θ'o) < AUSL(θo)
gilt dann aber mit Theorem 1-6, dass ^rθ'oμθ ausi.(θ'_i... μθ^oAUSL(θo)-Γ =
^rμθ^oo...μθ^oAUSL(θ'o)-1μθ^oAUSL(θ'o).μθ^oAUSL(θo)-1^^l = ^rμθ^oo.μθ^oAUSL(θo)-1^π = θo, im Widerspruch
zur I.V. Angenommen i > o. Dann gilt mit Theorem 1-5-(iii):

^rμθ ^oo. μθ ^oAUSL(θ'_o)-1, ∙ ∙, μθ ^i-1o ■■■ μθ ^i-1AUSL(θ'_i-ι)-1 ,"^l

^rμθ^oo∙ μθ^oAUSL(θ_o)-1, ∙ ∙, μθ^i-1o∙ ∙ ∙ μθ^i-1AUSL(θ_i-ι)-1,^π.

Also mit Theorem 1-7-(i):

^rμθ ⁱo . μθ ⁱAUSL(θ'i)-1, ∙ ∙, μθ ^n-1o∙ μθ ^n-1AUSL(θ',,,-1)-1Γ

^rμθⁱO. μθⁱAUSL(θi)-1, ., μθ^n-1o. μθ'^n-1AUSL(θn-1)-1)μ*O∙ ∙ ∙ μ*AUSL(μ)-1^ .

Mit Theorem 1-5-(iii) gilt sodann fur alle j < AUSL(θ'i), dass μ^θ'ij = μ^θij und damit nach
Postulat 1-2-(i): θ'i = ^rμθ'ⁱo...μθ'ⁱAUSL(θ'i)-Γ = ^rμθⁱo∙..μθⁱAUSL(θ'i)-Γ. Wegen AUSL(θ'i) <
AUSL(θi) gilt dann aber mit Theorem 1-6, dass ^rθ'∙μθ ausi _l∙θA... μθⁱAUSL(θi)-Γ =
^rμθⁱo. μθⁱAUSL(θ'i)-1μθⁱAUSL(θ'i). μθⁱAUSL(θ,)-1^π = ^rμθⁱo∙ ∙ ∙ μθⁱAUSL(θi)-1^^l = θi^{, e}b^enfalls im Wider^-
spruch zur I.V. Bei AUSL(θi) < AUSL(θ'i) ergibt sich analog ein Widerspruch. Also fuhrt
die Annahme, dass θ' = ^rθμ^π fur ein θ ∈ TERM, zum Widerspruch.

Zu (ii): Seien nun Δ, Δ' ∈ FORM und μ ∈ AUS. Der Beweis wird mittels Induktion
uber AUSL(Δ') gefuhrt. Gelte dazu die Behauptung fur alle Δ* ∈ FORM mit AUSL(Δ*)
< AUSL(Δ'). Mit Δ' ∈ FORM gilt Δ' ∈ AFORM ∪ {^r-Δ*^π | Δ* ∈ FORM} ∪ {^r(Δo ψ
Δι)^^l | Δ_o, Δι ∈ FORM und ψ ∈ JUNK∖{^r—^^l}} ∪ QFORM. Diese vier Falle werden nun
unterschieden.

Erstens: Sei Δ' ∈ AFORM. Der Beweis wird analog zum Induktionsschritt fur (i) unter
Ruckgriff auf (i) gezeigt. Angenommen Δ' = ^rΔμ^π. Also gibt es n' ∈ N∖{O} und Φ' ∈

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