170 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft
SEF(T1) и PBF(T1) und T4 ∉ SEF(T3) и PBF(T3). Ware T2 ∈ NEF(T1) oder T4 ∈
NEF(T2). Dann gabe es ein j ∈ Dom(T3). so dass A(Tj) = r—α = α^l. Mit Theorem 1-10
und Theorem 1-11 ist j ∉ {Dom(T3)-1. Dom(T3)-3}. Wegen rα = α^l ∉ TF(Α) ist aber
auch j ≠ Dom(T3)-2. Also j ∈ Dom(T3)∖{Dom(T3)-1. Dom(T3)-2. Dom(T3)-3} =
Dom(T). Mit α ∈ TT(T3j) = TT(Tj) ware dann aber auch α ∈ TTSEQ(T). Widerspruch!
Also T2 ∉ NEF(T1) und T4 ∉ NEF(T3).
Hingegen ist damit erstens nach Definition 3-16 T1 ∈ IEE(T). damit T1 ∈ RGS∖{0}
und mit Theorem 3-25 VERS(T1) = VERS(T) и {(Dom(T). rAlso α = απ)}. Damit gilt
VANS(T1) = VANS(T) und rΑ ∧ IE ∈ VER(T) ⊆ VER(T1). Also ist zweitens mit
Definition 3-5 T2 ∈ KBF(T1) ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem 3-25 VERS(T2) =
VERS(T1) и {(Dom(T1). rAlso Α^l)}. Damit gilt VANS(T2) = VANS(T1). rΑ ∧ IE ∈
VER(T1) ⊆ VER(T2) und Α ∈ VER(T2). Sodann ist drittens nach Definition 3-16 T3 ∈
IEF(T2). T3 ∈ RGS∖{0} und mit Theorem 3-25 VERS(T3) = VERS(T2) и {(Dom(T2).
rAlso α = (E)E Damit gilt VANS(T3) = VANS(T2) und Α. rΑ ∧ Βπ ∈ VER(T2) ⊆
VER(T3). Viertens ist damit nach Definition 3-5 T4 ∈ KBF(T3) ⊆ RGS∖{0} und mit
Theorem 3-25 VERS(T4) = VERS(T3) и {(Dom(T3). rAlso Βπ)}. Damit gilt VANS(T4)
= VANS(T3). Α ∈ VER(T3) ⊆ VER(T4) und Β ∈ VER(T4). Insgesamt ist damit T4 ∈
RGS∖{0}. VAN(T4) = VAN(T3) = VAN(T2) = VAN(T1) = VAN(T). Α. Β ∈ VER(T4)
und K(T4) = Β. ■
Theorem 4-6. Verfugbare Aussagen als Konklusionen
Wenn T ∈ RGS∖{0} und Α ∈ VER(T). dann gibt es ein T* ∈ RGS∖{0}. so dass
(i) VAN(T*) = VAN(T).
(ii) VER(T) ⊆ VER(T*) und
(iii) K(T*) = Α.
Beweis: Seien T ∈ RGS∖{0} und Α ∈ VER(T). Dann gibt es ein i ∈ Dom(T). so dass
A(Ti) = Α und (i. Ti) ∈ VERS(T). Folgende Sequenzen seien definiert. wobei α ∈
KONST∖TTSEQ(T):
T1 = T и {(Dom(T). rAlso α = α-l)}
T2 = T1 и {(Dom(T1). rAlso Α ∧ Α-l)}