Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



4.1 Vorbereitungen 173

ft* RGS{0}, so dass VAN(ft*) = VAN(ft+) VAN(ft){rα = απ } und Α, Β
VER(ft*) und K(ft*) = Β. ■

Theorem 4-8. Einfache Substitution eines neuen Parameters fur einen Parameter ist RGS-treu
Wenn ft RGS, und β* PARTTSEQ(ft) und β PAR{β*}, dann ist [β*, β, ft] RGS
und Dom(VERS([β*, β,
ft])) = Dom(VERS(ft)).

Beweis: Durch Induktion uber Dom(ft). Sei ft RGS, und β* PARTTSEQ(ft) und β
PAR{β*} und gelte die Behauptung fur alle k < Dom(ft). Sei Dom(ft) = 0. Dann ist ft
= 0 = [β*, β, ft] und damit [β*, β, ft] RGS und es ist Dom(VERS([β*, β, ft])) = 0 =
Dom(VERS(
ft)). Sei nun 0 < Dom(ft). Dann ist ft RGS{0}. Dann ist mit Theorem 3-6
ft RGF(ftΓDom(ft)-1). Dann ist nach I.V.:

a) ft* = [β*, β, ftfDom(ft)-1]    RGS und Dom(VERS(ft*))   =

Dom(VERS(ftf Dom(ft)-1)).

Sodann ergibt sich mit ft RGF(ftΓDom(ft)-1) mit Definition 3-18, dass ft
AF(ftΓDom(ft)-1) oder ft SEF(ftΓDom(ft)-1) oder ft SBF(ftΓDom(ft)-1) oder ft
KEF(ftΓDom(ft)-1) oder ft KBF(ftβDom(ft)-1) oder ft BEF(ftΓDom(ft)-1) oder ft
BBF(ftΓDom(ft)-1) oder ft AEF(ftΓDom(ft)-1) oder ft ABF(ftΓDom(ft)-1) oder ft
NEF(ftΓDom(ft)-1) oder ft NBF(ftΓDom(ft)-1) oder ft UEF(ftβDom(ft)-1) oder ft
UBF(ftΓDom(ft)-1) oder ft PEF(ftβDom(ft)-1) oder ft PBF(ftΓDom(ft)-1) oder ft
IEF(ftβDom(ft)-1) oder ft IBF(ftβDom(ft)-1).

Da sich Operatoren durch die Substitution nicht verandern, gilt nun zunachst:

b) Fur alle i Dom(ft)-1: A(ft*i) = [β*, β, A(fti)] und ft*i = rΞ [β*, β, A(fti)]π, wobei fti
= rΞ A(fti)^l, fur ein Ξ PERF.

Sodann gilt mit β* PARTTSEQ(ft) und β PAR{β*}:

c) Fur jedes i Dom(ft): β* TT(A(fti)) und β TT([β*, β, A(fti)]),

da sonst im Gegensatz zur Voraussetzung β* TTSEQ(ft) oder β = β*. Sodann sei ver-
einbart:

d) ft+ = ft* U {(Dom(ft)-1, [β*, β, ftDom(ft)-1])}.



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