Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

174  4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft

Dann ist ft⁺ = [β*, β, ft]. Nun wird gezeigt, dass sich fur die einzelnen Falle AF ... IBF
jeweils ergibt, dass ft⁺ ∈ RGS und Dom(VERS(ft⁺)) = Dom(VERS(ft)), womit dann je-
weils gezeigt ist, dass das Theorem gilt.

Um Sonderbetrachtungen bei SBF, KEF, KBF, BEF, BBF, AEF, ABF, NBF, UEF,
UBF, PEF, IEF und IBF zu vereinfachen wird nun noch vorbereitend gezeigt:

e) Wenn ft⁺ ∈ SEF(ft*) ∪ NEF(ft*) и PBF(ft*), dann ft ∈ SEF(ft[^Dom(ft)-1) и
NEF(ft[^Dom(ft-1) и PBF(ftfDom(ft-1).

Vorbereitungsteil: Sei ft⁺ ∈ SEF(ft*). Dann gibt es nach Definition 3-2 i ∈
Dom(VANS(ft*)), so dass mit b) und d) A(ft*_i) = [β*, β, A(ft_i)] und K(ft*) = [β*, β,
A(ftn_om(_ft)_-2)] und es kein l mit i < l ≤ Dom(ft)-2 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS(ft*)) und
ft⁺ = ft* и {(Dom(ft)-1, ^rAlso A(ft*_i) → A(ft*Dom(ft)-2)^π)} = ft* и {(Dom(ft)-1, ^rAlso
[β*, β, AO → [β*, β, AOmOT)}. Mit d) ist rAlso [β*, β, AO → [β*, β,
AOm(OΓ = [β*, β, rAlso A(ft,) → AOmO] = [β*, β, ^Dom(⅞)-1]. Theorem 1-21
ergibt rAlso A(fti) → A(‰m(⅛)-2)^π = ^Dom(⅛)-1 und mithin ft = ft∣⁴Dom(ft)-1 и
{(Dom(ft)-1, rAlso A(ft_i) → A(ftn_om(_ft)_-2)^π)}. Sodann gilt mit a) und b): i ∈
Dom(VANS(ftΓDom(ft)-1)) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom(ft)-2, so dass l ∈
Dom(VANS(ftΓDom(ft)-1)). Damit ist dann auch ft ∈ SEF(ftΓDom(ft)-1). Fur den Fall,
dass ft⁺ ∈ NEF(ft*), zeigt man analog, dass dann auch ft ∈ NEF(ftΓDom(ft)-1).

Sei nun ft⁺ ∈ PBF(ft*). Dann gibt es nach Definition 3-15 mit b) und d), β⁺ ∈ PAR, ζ ∈
VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊂ {ζ}, und i ∈ Dom(VERS(ft*)), so dass A(ft*_i) =
r∀ζΔ^π = [β*, β, A(fti)] und A(ft*i+1) = [β⁺, ζ, Δ] = [β*, β, A(fti+1)], wobei i+1 ∈
Dom(VANS(ft*)), [β*, β, A‰mO = K(ft*), β⁺ ∉ TTFM({Δ, [β*, β, A‰mO}),
es kein j ≤ i gibt, so dass β⁺ ∈ TT(ft*_j), es kein l mit i+1 < l ≤ Dom(ft)-2 gibt, so dass l ∈
Dom(VANS(ft*)) und ft⁺ = ft* и {(Dom(ft)-1, rAlso K(ft*)^^l)} = ft* и {(Dom(ft)-1,
rAlso [β*, β, AOm(ft)-2)Γ)} = ft* и {(Dom(ft)-1, [β*, β, rAlso AOmO ])}. Mit d)
ist [β*, β, rAlso A(ftDom(ft)-2)^π ] = [β*, β, ftDom(ft)-1]. Theorem 1-21 ergibt rAlso
A(ftDom(ft)-2)^π = ftDom(ft)-1 und mithin ft = ftΓDom(ft)-1 и {(Dom(ft)-1, rAlso
AOmO )}.

Mit a) und b) gilt dann: i ∈ Dom(VERS(ftΓDom(ft)-1)), i+1 ∈
Dom(VANS(ftΓDom(ft)-1)) und es gibt kein l mit i+1 < l ≤ Dom(ft)-2, so dass l ∈
Dom(VANS(ftΓDom(ft)-1)). Zu zeigen ist nun noch, dass A(ft_i), A(ft_i+ι) und A(ftu_om(_ft)_-2)
die Voraussetzungen fur ft ∈ PBF(ftΓDom(ft)-1) erfullen.

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