Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

4.1 Vorbereitungen 171

A³     =  A²  и   {(Dom(A2),    ^rAlso α = α^-l)}

A⁴     =  A³   и   {(Dom(A³),    rAlso Α^l)}.

Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 sind zunachst K(A¹), K(A²) und K(A³) keine Nega-
tionen oder Subjunktionen. Sodann sind K(A¹) und K(A³) nicht identisch mit K(A) resp.
K(A²). Insbesondere ist mit Theorem 1-10-(vi) K(A) nicht identisch mit K(A¹). Also A¹ ∉
SEF(A) и NEF(A) и PBF(A), A² ∉ SEF(A¹) и NEF(A¹) и PBF(A¹) und A³ ∉ SEF(A²)
и NEF(A²) и PBF(A²). Ware ^rα = α^π ∈ TF(Α), dann ware α ∈ TT(Ai) ⊆ TTSEQ(A).
Also ist rα = α^^l ∉ TF(Α) und damit A⁴ ∉ SEF(A³) и PBF(A³). Ware A⁴ ∈ NEF(A³),
dann gabe es ein j ∈ Dom(A³), so dass A(Aj) = ^r-α = α¹. Mit Theorem 1-10 und
Theorem 1-11 ist j ∉ {Dom(A³)-1, Dom(A³)-2, Dom(A³)-3}. Also j ∈
Dom(A³)∖{Dom(A³)-1, Dom(A³)-2, Dom(A³)-3} = Dom(A). Mit α ∈ TT(A³j) = TT(Aj)
ware dann aber auch α ∈ TTSEQ(A). Widerspruch! Also A⁴ ∉ NEF(A³).

Hingegen ist damit erstens nach Definition 3-16 A¹ ∈ IEF(A), damit A¹ ∈ RGS∖{0}
und mit Theorem 3-25 VERS(A¹) = VERS(A) и {(Dom(A), rAlso α = α^π)}. Damit gilt
VANS(A¹) = VANS(A) und Α ∈ VER(A) ⊆ VER(A¹). Also ist zweitens nach Definition
3-4 A² ∈ KEF(A¹) ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem 3-25 VERS(A²) = VERS(A¹) и
{(Dom(A¹), rAlso Α ∧ Α^π)}. Damit gilt VANS(A²) = VANS(A¹), VER(A¹) ⊆ VER(A²)
und rΑ ∧ Α^^l ∈ VER(A²). Sodann ist drittens nach Definition 3-16 A³ ∈ IEF(A²) ⊆
RGS∖{0} und mit Theorem 3-25 VERS(A³) = VERS(A²) и {(Dom(A²), rAlso α = α^π)}.
Damit gilt VANS(A³) = VANS(A²) und rΑ ∧ Α^^l ∈ VER(A²) ⊆ VER(A³). Viertens ist
damit nach Definition 3-5 A⁴ ∈ KBF(A³) ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem 3-25 VERS(A⁴)
= VERS(A³) и {(Dom(A³), rAlso Α^π)}. Damit gilt VANS(A⁴) = VANS(A³) und
VER(A³) ⊆ VER(A⁴). Insgesamt ist damit A⁴ ∈ RGS∖{0}, VAN(A⁴) = VAN(A³) =
VAN(A²) = VAN(A¹) = VAN(A), VER(A) ⊆ VER(A⁴) und K(A⁴) = Α. ■

Theorem 4-7. Eliminierbarkeit einer Annahme von ⅛ = α"¹

Wenn A ∈ RGS∖{0}, α ∈ KONST und Α, Β ∈ VER(A), dann gibt es ein A* ∈ RGS∖{0}, so
dass

(i)   VAN(A*) ⊆ VAN(A)∖{ rα = α¹},

(ii)   Α, Β ∈ VER(A*) und

(iii) K(A*) = Β.

Beweis: Seien A ∈ RGS∖{0}, α ∈ KONST und Α, Β ∈ VER(A). Angenommen ⅛ = α^^l ∉
VAN(A). Dann ist VAN(A) ⊆ VAN(A)∖{ ^rα = α^^l}. Mit Theorem 4-6 gibt es zudem ein

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