Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



4.1 Vorbereitungen 171

A3     =  A2  и   {(Dom(A2),    rAlso α = α-l)}

A4     =  A3   и   {(Dom(A3),    rAlso Αl)}.

Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 sind zunachst K(A1), K(A2) und K(A3) keine Nega-
tionen oder Subjunktionen. Sodann sind K(
A1) und K(A3) nicht identisch mit K(A) resp.
K(
A2). Insbesondere ist mit Theorem 1-10-(vi) K(A) nicht identisch mit K(A1). Also A1
SEF(A) и NEF(A) и PBF(A), A2 SEF(A1) и NEF(A1) и PBF(A1) und A3 SEF(A2)
и NEF(A2) и PBF(A2). Ware rα = απTF(Α), dann ware α TT(Ai) TTSEQ(A).
Also ist
rα = α^l TF(Α) und damit A4 SEF(A3) и PBF(A3). Ware A4 NEF(A3),
dann gabe es ein
jDom(A3), so dass A(Aj) = r-α = α1. Mit Theorem 1-10 und
Theorem 1-11 ist
j ∉ {Dom(A3)-1, Dom(A3)-2, Dom(A3)-3}. Also j ∈
Dom(A3){Dom(A3)-1, Dom(A3)-2, Dom(A3)-3} = Dom(A). Mit α TT(A3j) = TT(Aj)
ware dann aber auch α
TTSEQ(A). Widerspruch! Also A4 NEF(A3).

Hingegen ist damit erstens nach Definition 3-16 A1 IEF(A), damit A1 RGS{0}
und mit Theorem 3-25 VERS(
A1) = VERS(A) и {(Dom(A), rAlso α = απ)}. Damit gilt
VANS(
A1) = VANS(A) und Α VER(A) VER(A1). Also ist zweitens nach Definition
3-4
A2 KEF(A1) RGS{0} und mit Theorem 3-25 VERS(A2) = VERS(A1) и
{(Dom(A1), rAlso Α Απ)}. Damit gilt VANS(A2) = VANS(A1), VER(A1) VER(A2)
und
rΑ ∧ Α^lVER(A2). Sodann ist drittens nach Definition 3-16 A3 IEF(A2)
RGS{0} und mit Theorem 3-25 VERS(A3) = VERS(A2) и {(Dom(A2), rAlso α = απ)}.
Damit gilt VANS(
A3) = VANS(A2) und rΑ Α^l VER(A2) VER(A3). Viertens ist
damit nach Definition 3-5
A4 KBF(A3) RGS{0} und mit Theorem 3-25 VERS(A4)
= VERS(
A3) и {(Dom(A3), rAlso Απ)}. Damit gilt VANS(A4) = VANS(A3) und
VER(
A3) VER(A4). Insgesamt ist damit A4 RGS{0}, VAN(A4) = VAN(A3) =
VAN(
A2) = VAN(A1) = VAN(A), VER(A) VER(A4) und K(A4) = Α. ■

Theorem 4-7. Eliminierbarkeit einer Annahme von ⅛ = α"1

Wenn A ∈ RGS{0}, α KONST und Α, Β VER(A), dann gibt es ein A* RGS{0}, so
dass

(i)   VAN(A*) VAN(A){ rα = α1},

(ii)   Α, Β VER(A*) und

(iii) K(A*) = Β.

Beweis: Seien A ∈ RGS{0}, α KONST und Α, Β VER(A). Angenommen ⅛ = α^l
VAN(A). Dann ist VAN(A) VAN(A){ rα = α^l}. Mit Theorem 4-6 gibt es zudem ein



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