172 4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft
S* ∈ RGS∖{0}, so dass VAN(S*) = VAN(S) ⊆ VAN(S)∖{ rα = απ}, Α, Β ∈ VER(S) ⊆
VER(S*) und K(S*) = Β.
Sei nunrα = α^l ∈ VAN(S). Dann ist S1 = S и {(Dom(S), rAlso Α ∧ Β^l)} ∈ KEF(S).
Dann gilt S1 ∈ RGS∖{0} und rΑ ∧ Β^l ∈ VER(S1) nach Theorem 3-26-(v) VAN(S1) ⊆
VAN(S). Nun gibt es nach Theorem 4-2 ein S+ ∈ RGS∖{0}, so dass VAN(S+) ⊆
VAN(S1) ⊆ VAN(S), K(S+) = K(S1) = rΑ ∧ Β^l und fur alle k ∈ Dom(VANS(S+)):
Wenn A(S+k) = rα = α^l, dann k = max(Dom(VANS(S+))). Dann ist ⅛ = α^l ∈ VAN(S+)
oder rα = α^l ∉ VAN(S+).
Erster Fall: Angenommen ⅛ = α^l ∈ VAN(S+). Dann ist A(S+max(Dom(vANS(S+)))) = ⅛ =
α^l und fur alle k ∈ Dom(VANS(S+)): Wenn A(S+k) = rα = α^1, dann k =
max(Dom(VANS(S+))). Seien nun folgende Sequenzen definiert:
S2
S3
S4
= S+U {(Dom(S+),
= S2 ∪ {(Dom(S2),
= S3 и {(Dom(S3),
rAlso α = α → (Α ∧ Β)π)}
rAlso α = α-l)}
rAlso Α ∧ Βπ)}.
Nach Definition 3-2 ist S2 ∈ SEF(S+), damit S2 ∈ RGS∖{0} und mit Theorem 3-19-(ix)
VAN(S2) ⊆ VAN(S+) ⊆ VAN(S). Sodann gilt mit Theorem 3-22, dass ⅛ = α^l ∉
VAN(S2) und damit VAN(S2) ⊆ VAN(S)∖{ rα = α^l}. Zudem ist ⅛ = α → (Α ∧ Β)^l ∈
VER(S2).
Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 sind K(S3) und K(S4) keine Negationen oder
Subjunktionen und K(S3) nicht identisch mit K(S2) und K(S4) nicht identisch mit K(S3).
Also S3 ∉ SEF(S2) u NEF(S2) u PBF(S2) und S4 ∉ SEF(S3) и NEF(S3) и PBF(S3).
Hingegen ist nach Definition 3-16 S3 ∈ IEF(S1) ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem 3-25
VERS(S3) = VERS(S2) u {(Dom(S2), rAlso α = απ)}. Damit gilt VANS(S3) =
VANS(S1), rα = α → (Α ∧ Β)π ∈ VER(S2) ⊆ VER(S3) und rα = απ ∈ VER(S3). Also
ist nach Definition 3-3 S4 ∈ SBF(S3) ⊆ RGS∖{0} und mit Theorem 3-25 VERS(S4) =
VERS(S3) и {(Dom(S3), rAlso Α ∧ Βπ)}. Damit gilt VANS(S4) = VANS(S3). Insge-
samt ist damit S4 ∈ RGS∖{0}, VAN(S4) = VAN(S3) = VAN(S2) ⊆ VAN(S)∖{ rα = απ}
und rΑ ∧ IE ∈ VER(S4). Mit Theorem 4-5 gibt es dann das gesuchte S* ∈ RGS∖{0}, so
dass VAN(S*) = VAN(S4) ⊆ VAN(S)∖{ rα = απ } und Α, Β ∈ VER(S*) und K(S*) = Β.
Zweiter Fall: Angenommen ⅛ = α ∉ VAN(S+) und mithin VAN(S+) ⊆ VAN(S)∖{ rα
= α^l}. Nun ist rΑ ∧ IE = K(S+) ∈ VER(S+). Mit Theorem 4-5 gibt es dann das gesuchte
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