Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



172  4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft

S* RGS{0}, so dass VAN(S*) = VAN(S) VAN(S){ rα = απ}, Α, Β VER(S)
VER(S*) und K(S*) = Β.

Sei nunrα = α^lVAN(S). Dann ist S1 = S и {(Dom(S), rAlso Α ∧ Β^l)} KEF(S).
Dann gilt
S1 RGS{0} und rΑ Β^l VER(S1) nach Theorem 3-26-(v) VAN(S1)
VAN(S). Nun gibt es nach Theorem 4-2 ein S+ RGS{0}, so dass VAN(S+)
VAN(S1) VAN(S), K(S+) = K(S1) = rΑ Β^l und fur alle k ∈ Dom(VANS(S+)):
Wenn A(
S+k) = rα = α^l, dann k = max(Dom(VANS(S+))). Dann ist ⅛ = α^l VAN(S+)
oder
rα = α^l VAN(S+).

Erster Fall: Angenommen ⅛ = α^l VAN(S+). Dann ist A(S+max(Dom(vANS(S+)))) = ⅛ =
α^l und fur alle
k ∈ Dom(VANS(S+)): Wenn A(S+k) = rα = α^1, dann k =
max(Dom(VANS(
S+))). Seien nun folgende Sequenzen definiert:

S2

S3

S4


= S+U {(Dom(S+),
=
S2 {(Dom(S2),
=
S3 и {(Dom(S3),


rAlso α = α Β)π)}
rAlso α = α-l)}
rAlso Α Βπ)}.

Nach Definition 3-2 ist S2 SEF(S+), damit S2 RGS{0} und mit Theorem 3-19-(ix)
VAN(
S2) VAN(S+) VAN(S). Sodann gilt mit Theorem 3-22, dass ⅛ = α^l
VAN(S2) und damit VAN(S2) VAN(S){ rα = α^l}. Zudem ist ⅛ = α Β)^l
VER(S2).

Mit Theorem 1-10 und Theorem 1-11 sind K(S3) und K(S4) keine Negationen oder
Subjunktionen und K(
S3) nicht identisch mit K(S2) und K(S4) nicht identisch mit K(S3).
Also
S3 SEF(S2) u NEF(S2) u PBF(S2) und S4 SEF(S3) и NEF(S3) и PBF(S3).
Hingegen ist nach Definition 3-16
S3 IEF(S1) RGS{0} und mit Theorem 3-25
VERS(
S3) = VERS(S2) u {(Dom(S2), rAlso α = απ)}. Damit gilt VANS(S3) =
VANS(
S1), rα = α Β)πVER(S2) VER(S3) und rα = απVER(S3). Also
ist nach Definition 3-3
S4 SBF(S3) RGS{0} und mit Theorem 3-25 VERS(S4) =
VERS(
S3) и {(Dom(S3), rAlso Α Βπ)}. Damit gilt VANS(S4) = VANS(S3). Insge-
samt ist damit
S4 RGS{0}, VAN(S4) = VAN(S3) = VAN(S2) VAN(S){ rα = απ}
und
rΑ ∧ IE ∈ VER(S4). Mit Theorem 4-5 gibt es dann das gesuchte S* RGS{0}, so
dass VAN(
S*) = VAN(S4) VAN(S){ rα = απ } und Α, Β VER(S*) und K(S*) = Β.

Zweiter Fall: Angenommen ⅛ = α VAN(S+) und mithin VAN(S+) VAN(S){ rα
= α^l}. Nun ist
rΑ ∧ IE = K(S+) VER(S+). Mit Theorem 4-5 gibt es dann das gesuchte



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