Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



184   4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft

damit mit Theorem 1-20 A(i) = [β*, ζ, Δ+]. Ware nun β* TTFM({Δ+, A(‰om()-2)})
oder gabe es ein
j i-1, so dass β* TT(.<ι ). Dann ware wegen β* ≠ α mit d) auch β*
TTFM({[β, α, Δ+], [β, α, A(‰m(⅛>2)]}) oder es gabe j i, so dass β* TT(*j). Wider-
spruch! Also ist im ersten Fall die Parameterbedingung fur β* auch in
.ħfDom(<ι)-1 er-
fullt und damit wiederum insgesamt
PBF(⅛ΓDom()-1).

Zweiter Fall: Sei nun β* TT([β, α, A(i)]). Mit [β, α, A(i)] = [β*, ζ, [β, α, Δ+]], gilt
dann ζ
FV([β, α, Δ+]). Dann ist [β, α, A(i)] = [β*, ζ, [β, α, Δ+]] = [β, α, Δ+] und damit
mit β
TT(Λ(<y)) TT(Δ+) wiederum mit Theorem 1-20 A(i) = Δ+, wobei mit ζ
FV([β, α, Δ+]) auch ζ FV(Δ+). Sei nun β+ PARTTSEQ(⅛ΓDom()-1). Mit ζ
FV(Δ+), gilt dann Λ(^i) = Δ+ = [β+, ζ, Δ+] und es gilt: β+ TTFM({Δ+, A‰m^2)}) und
es gibt kein
j i, so dass β+ TT(j). Damit ist dann ebenfalls insgesamt auch .ħ
PBF(⅛ΓDom()-1). Also gilt in beiden Fallen .ħ PBF(⅛ΓDom()-1).

Hauptteil: Nun zum Nachweis, dass sich fur die einzelnen Falle AF ... IBF jeweils
ergibt, dass .ħ
' RGS und Dom(VERS(+)) = {(l+1 | l Dom(VERS())} {0}. Zu-
nachst werden SEF, NEF und PBF behandelt. Nach einer Ausschlussannahme fur alle an-
deren Falle kann fur diese Dom(VERS(
+)) allein mit c), g) und Theorem 3-25 bestimmt
werden.

(SEF, NEF): Sei nun .ħ SEF(⅛ΓDom()-1). Nach Definition 3-2 gibt es dann ein i
Dom(VANS(⅛ΓDom()-1)), so dass es kein l Dom(VANS(⅛ΓDom()-1)) mit i l
Dom(
)-2 gibt und .ħ = ⅛ΓDom()-1 {(Dom()-1, rAlso A(i)
K(⅛ΓDom()-1)^l)}. Dann gilt mit a), d) und f): i+1 Dom(VANS(*)) und es gibt kein
l mit i+1 < l ≤ Dom()-1 = Dom(*)-1, so dass l Dom(VANS(*)), und A(*i+1) = [β,
α, A(
i)] und K(*) = [β, α, K(⅛ΓDom()-1)] und .ħ' = * {(Dom(), [β, α, rAlso
A(
) K(^Dom(^)-1)π])} =* {(Dom(M rAlso [β, α, A(⅛)] [β, α,

K(⅛ΓDom()-1)]^l)} = ft* {(Dom(), rAlso A(*i+ι) K(*)^l)}. Damit ist dann .ħ'
SEF(*) und damit .ħ' RGS.

Sodann ergibt sich mit Theorem 3-19-(iii), dass VERS() = VERS(⅛ΓDom()-1){(j,
ftj) | i j < Dom()-1} {(Dom()-1, rAlso A(i) K(⅛ΓDom()-1)^l)} und dass
VERS(
+) = VERS(*){(j, ,ħ +) | i+1 ≤ j < Dom()} {(Dom(), rAlso [β, α, A(i)]
[β, α, K(⅛ΓDom()-1)]π)}. Mit Dom(VERS(*)) = {(l+1 | l
Dom(VERS(⅛ΓDom()-1))} {0} ergibt sich dann auch Dom(VERS(+)) = {(l+1 | l
Dom(VERS())} {0}. Fur den Fall, dass ft NEF(⅛ΓDom()-1), zeigt man analog,



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