Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

184   4 Theoreme zur deduktiven Konsequenzschaft

damit mit Theorem 1-20 A(⅛i) = [β*, ζ, Δ⁺]. Ware nun β* ∈ TTFM({Δ⁺, A(‰_om(⅛)_-2)})
oder gabe es ein j ≤ i-1, so dass β* ∈ TT(.<ι ). Dann ware wegen β* ≠ α mit d) auch β* ∈
TTFM({[β, α, Δ⁺], [β, α, A(‰m(⅛>2)]}) oder es gabe j ≤ i, so dass β* ∈ TT(⅛*_j). Wider-
spruch! Also ist im ersten Fall die Parameterbedingung fur β* auch in .ħfDom(<ι)-1 er-
fullt und damit wiederum insgesamt ⅛ ∈ PBF(⅛ΓDom(⅛)-1).

Zweiter Fall: Sei nun β* ∉ TT([β, α, A(⅛i)]). Mit [β, α, A(⅛i)] = [β*, ζ, [β, α, Δ⁺]], gilt
dann ζ ∉ FV([β, α, Δ⁺]). Dann ist [β, α, A(⅛i)] = [β*, ζ, [β, α, Δ⁺]] = [β, α, Δ⁺] und damit
mit β ∉ TT(Λ(<y)) ∪ TT(Δ⁺) wiederum mit Theorem 1-20 A(⅛i) = Δ⁺, wobei mit ζ ∉
FV([β, α, Δ⁺]) auch ζ ∉ FV(Δ⁺). Sei nun β⁺ ∈ PAR∖TTSEQ(⅛ΓDom(⅛)-1). Mit ζ ∉
FV(Δ⁺), gilt dann Λ(^i) = Δ⁺ = [β⁺, ζ, Δ⁺] und es gilt: β⁺ ∉ TTFM({Δ⁺, A‰m^2)}) und
es gibt kein j ≤ i, so dass β⁺ ∈ TT(⅛j). Damit ist dann ebenfalls insgesamt auch .ħ ∈
PBF(⅛ΓDom(⅛)-1). Also gilt in beiden Fallen .ħ ∈ PBF(⅛ΓDom(⅛)-1).

Hauptteil: Nun zum Nachweis, dass sich fur die einzelnen Falle AF ... IBF jeweils
ergibt, dass .ħ' ∈ RGS und Dom(VERS(⅛⁺)) = {(l+1 | l ∈ Dom(VERS(⅛))} ∪ {0}. Zu-
nachst werden SEF, NEF und PBF behandelt. Nach einer Ausschlussannahme fur alle an-
deren Falle kann fur diese Dom(VERS(⅛⁺)) allein mit c), g) und Theorem 3-25 bestimmt
werden.

(SEF, NEF): Sei nun .ħ ∈ SEF(⅛ΓDom(⅛)-1). Nach Definition 3-2 gibt es dann ein i ∈
Dom(VANS(⅛ΓDom(⅛)-1)), so dass es kein l ∈ Dom(VANS(⅛ΓDom(⅛)-1)) mit i < l ≤
Dom(⅛)-2 gibt und .ħ = ⅛ΓDom(⅛)-1 ∪ {(Dom(⅛)-1, ^rAlso A(⅛i) →
K(⅛ΓDom(⅛)-1)^^l)}. Dann gilt mit a), d) und f): i+1 ∈ Dom(VANS(⅛*)) und es gibt kein
l mit i+1 < l ≤ Dom(⅛)-1 = Dom(⅛*)-1, so dass l ∈ Dom(VANS(⅛*)), und A(⅛*i₊₁) = [β,
α, A(⅛i)] und K(⅛*) = [β, α, K(⅛ΓDom(⅛)-1)] und .ħ' = ⅛* ∪ {(Dom(⅛), [β, α, rAlso
A(⅛) → K(^Dom(^)-1)^π])} =⅞* ∪ {(Dom(M rAlso [β, α, A(⅛)] → [β, α,

K(⅛ΓDom(⅛)-1)]^^l)} = ft* ∪ {(Dom(⅛), rAlso A(⅛*i₊ι) → K(⅛*)^^l)}. Damit ist dann .ħ'
∈ SEF(⅛*) und damit .ħ' ∈ RGS.

Sodann ergibt sich mit Theorem 3-19-(iii), dass VERS(⅛) = VERS(⅛ΓDom(⅛)-1)∖{(j,
ftj) | i ≤ j < Dom(⅛)-1} ∪ {(Dom(⅛)-1, rAlso A(⅛i) → K(⅛ΓDom(⅛)-1)^^l)} und dass
VERS(⅛⁺) = VERS(⅛*)∖{(j, ,ħ +) | i+1 ≤ j < Dom(⅛)} ∪ {(Dom(⅛), rAlso [β, α, A(⅛i)]
→ [β, α, K(⅛ΓDom(⅛)-1)]^π)}. Mit Dom(VERS(⅛*)) = {(l+1 | l ∈
Dom(VERS(⅛ΓDom(⅛)-1))} ∪ {0} ergibt sich dann auch Dom(VERS(⅛⁺)) = {(l+1 | l ∈
Dom(VERS(⅛))} ∪ {0}. Fur den Fall, dass ft ∈ NEF(⅛ΓDom(⅛)-1), zeigt man analog,

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