Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

4.1 Vorbereitungen 183

Λ(^Dom(⅞)-2)]^π)}. Mit f) ιst ^rAlso [β, α, A(^i-1>] → [β, α, A( <₁₁ >o,_lll.. ₁ ,A]' = [β, α, ^rAlso
A(‰) → A(.D0m(⅞)-2)^π ] = [β, α, .Dom(⅞)-1]. Theorem 1-21 ergibt rAlso A(‰) →
A(.D0m(⅞)-2)^π = .Dom(.)-1 und mithin . = .tDom(.)-1 и {(Dom(.)-1, rAlso A(‰) →
A(.D_om(⅞)_-2)^π)}. Sodann gilt mit c), d) und i ≠ 0: i-1 ∈ Dom(VANS(.ΓDom(.)-1)) und
es gibt kein l mit i-1 < l ≤ Dom(.)-2, so dass l ∈ Dom(VANS(.ΓDom(.)-1)). Damit ist
dann auch . ∈ SEF(.ΓDom(.)-1). Fur den Fall, dass .⁺ ∈ NEF(.*), zeigt man analog,
dass dann auch . ∈ NEF(.ΓDom(.)-1).

Sei nun .⁺ ∈ PBF(.*). Nach Definition 3-15 und mit c), d) und f) gibt es dann β* ∈
PAR, ζ ∈ VAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊂ {ζ}, und i ∈ Dom(VERS(.*)), so dass
A(.*i) = r∀ζΔ^π und A(.*i+1) = [β*, ζ, Δ] = [β, α, A(.i)], wobei i+1 ∈ Dom(VANS(.*)),
[β, α, A(.Dom(.)-2)] = K(.*), β* ∉ TTFM({Δ, [β, α, A(‰-2)]}), es kein j ≤ i gibt, so
dass β* ∈ TT(.*j), es kein l mit i+1 < l ≤ Dom(.)-1 gibt, so dass l ∈ Dom(VANS(.*))

und .⁺ = .* и  {(Dom(.), rAlso K(.*)^^l)} = .* и {(Dom(.), rAlso [β, α,

A(.Dom(.)-2)Γ)} = .* и {(Dom(.), [β, α, rAlso A‰m^2Γ])}. Mit f) ist [β, α, rAlso
A(.Dom(⅞)-2)^π ] = [β, α, .Dom(.)-1]. Theorem 1-21 ergibt rAlso Λ(⅛o,,,(._i-.'Γ = .Dom(.)-1
und mithin . = .ΓDom(.)-1 и {(Dom(.)-1, rAlso A(.D_om(.)_-2)^π)}. Mit A(.*_i) = r√ζΔ^π
≠ rβ = β^^l = A(.*₀) ist i ≠ 0 und daher A(.*_i) = r√ζΔ^π = [β, α, A(._i-1)].

Damit ergibt sich dann mit c), d) und i ≠ 0 zunachst: i-1 ∈ Dom(VERS(.ΓDom(.)-1)),
i ∈ Dom(VANS(.ΓDom(.)-1)) und es gibt kein l mit i < l ≤ Dom(.)-2, so dass l ∈
Dom(VANS(.ΓDom(.)-1)). Zu zeigen ist nun noch, dass A(._i-1), A(._i) und A(.D_om(.)_-2)
die Voraussetzungen fur . ∈ PBF(.ΓDom(.)-1) erfullen.

Nun ist [β, α, A(.i-1)] = A(.*_i) = ` . ζΔ und [β, α, A(._i)] = A(.*_i+₁) = [β*, ζ, Δ]. Da
Operatoren durch die Substitution nicht verandert werden, gilt damit wegen [β, α, A(._i-1)]
= r√ζΔ^π: A(.,-1) = r√ζΔ^+π fur ein Δ⁺ ∈ FORM, wobei β ∉ TT(Δ⁺) und FV(Δ⁺) ⊆ {ζ}.
Damit ist r√ζΔ^π = [β, α, A(._i-1)] = [β, α, r√ζΔ^+π ] = r√ζ[β, α, Δ⁺]^^l und somit Δ = [β, α,
Δ⁺]. Damit gilt wiederum: [β, α, A(._i)] = [β*, ζ, Δ] = [β*, ζ, [β, α, Δ⁺]] und β* ∉ TT([β,
α, Δ⁺]). Sodann gilt β = β* oder β ≠ β*. Ware β = β*, dann gabe es kein j ≤ i, so dass β ∈
TT(.*j). Nun ist aber β ∈ TT( rAlso β = β^^l) = TT(.*₀) und 0 ≤ i. Also ist β ≠ β*. Dann
lassen sich mit β* ∈ TT([β, α, A(._i)]) und β* ∉ TT([β, α, A(._i)]) zwei Falle unterschei-
den.

Erster Fall: Angenommen β* ∈ TT([β, α, A(._i)]). Dann ist mit Δ = [β, α, Δ⁺] und
Theorem 1-25-(ii): [β, α, A(._i)] = [β*, ζ, Δ] = [β*, ζ, [β, α, Δ⁺]] = [β, α, [β*, ζ, Δ⁺]]. So-
dann ist β ∉ TT(A(._i)) und wegen β ≠ β* und β ∉ TT(Δ⁺) auch β ∉ TT([β*, ζ, Δ⁺]) und

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