Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



4.1 Vorbereitungen 183

Λ(^Dom()-2)]π)}. Mit f) ιst rAlso [β, α, A(^i-1>] [β, α, A( <11 >o,lll.. 1 ,A]' = [β, α, rAlso
A(‰)
A(.D0m()-2)π ] = [β, α, .Dom()-1]. Theorem 1-21 ergibt rAlso A(‰)
A(.D0m()-2)π = .Dom(.)-1 und mithin . = .tDom(.)-1 и {(Dom(.)-1, rAlso A(‰)
A(.Dom()-2)π)}. Sodann gilt mit c), d) und i0: i-1 Dom(VANS(Dom(.)-1)) und
es gibt kein
l mit i-1 < l ≤ Dom(.)-2, so dass l Dom(VANS(Dom(.)-1)). Damit ist
dann auch
. SEF(Dom(.)-1). Fur den Fall, dass .+ NEF(.*), zeigt man analog,
dass dann auch
. NEF(Dom(.)-1).

Sei nun .+ PBF(.*). Nach Definition 3-15 und mit c), d) und f) gibt es dann β*
PAR, ζ VAR, Δ FORM, wobei FV(Δ) {ζ}, und i Dom(VERS(.*)), so dass
A(
.*i) = rζΔπ und A(.*i+1) = [β*, ζ, Δ] = [β, α, A(.i)], wobei i+1 Dom(VANS(.*)),
[β, α, A(
.Dom(.)-2)] = K(.*), β* TTFM({Δ, [β, α, A(‰-2)]}), es kein j ≤ i gibt, so
dass β*
TT(.*j), es kein l mit i+1 < l ≤ Dom(.)-1 gibt, so dass l Dom(VANS(.*))

und .+ = .* и  {(Dom(.), rAlso K(.*)^l)} = .* и {(Dom(.), rAlso [β, α,

A(.Dom(.)-2)Γ)} = .* и {(Dom(.), [β, α, rAlso A‰m^2Γ])}. Mit f) ist [β, α, rAlso
A(
.Dom()-2)π ] = [β, α, .Dom(.)-1]. Theorem 1-21 ergibt rAlso Λ(⅛o,,,(.i-.'Γ = .Dom(.)-1
und mithin . = Dom(.)-1 и {(Dom(.)-1, rAlso A(.Dom(.)-2)π)}. Mit A(.*i) = r√ζΔπ
≠ rβ = β^l = A(.*0) ist i ≠ 0 und daher A(.*i) = r√ζΔπ = [β, α, A(.i-1)].

Damit ergibt sich dann mit c), d) und i ≠ 0 zunachst: i-1 Dom(VERS(Dom(.)-1)),
i Dom(VANS(Dom(.)-1)) und es gibt kein l mit i l ≤ Dom(.)-2, so dass l
Dom(VANS(Dom(.)-1)). Zu zeigen ist nun noch, dass A(.i-1), A(.i) und A(.Dom(.)-2)
die Voraussetzungen fur
. PBF(Dom(.)-1) erfullen.

Nun ist [β, α, A(.i-1)] = A(.*i) = ` . ζΔ und [β, α, A(.i)] = A(.*i+1) = [β*, ζ, Δ]. Da
Operatoren durch die Substitution nicht verandert werden, gilt damit wegen [β, α, A(
.i-1)]
=
r√ζΔπ: A(.,-1) = r√ζΔ+π fur ein Δ+ FORM, wobei β TT(Δ+) und FV(Δ+) {ζ}.
Damit ist
r√ζΔπ = [β, α, A(.i-1)] = [β, α, r√ζΔ+π ] = r√ζ[β, α, Δ+]^l und somit Δ = [β, α,
Δ+]. Damit gilt wiederum: [β, α, A(
.i)] = [β*, ζ, Δ] = [β*, ζ, [β, α, Δ+]] und β* TT([β,
α, Δ+]). Sodann gilt β = β* oder β ≠ β*. Ware β = β*, dann gabe es kein
j i, so dass β
TT(.*j). Nun ist aber β TT( rAlso β = β^l) = TT(.*0) und 0 ≤ i. Also ist β ≠ β*. Dann
lassen sich mit β*
TT([β, α, A(.i)]) und β* TT([β, α, A(.i)]) zwei Falle unterschei-
den.

Erster Fall: Angenommen β* TT([β, α, A(.i)]). Dann ist mit Δ = [β, α, Δ+] und
Theorem 1-25-(ii): [β, α, A(
.i)] = [β*, ζ, Δ] = [β*, ζ, [β, α, Δ+]] = [β, α, [β*, ζ, Δ+]]. So-
dann ist β
TT(A(.i)) und wegen β ≠ β* und β TT(Δ+) auch β TT([β*, ζ, Δ+]) und



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