Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

6.2 Vollstandigkeit des Redehandlungskalkuls 245

6.2 Vollstandigkeit des Redehandlungskalkuls

Im Folgenden wird uber den Nachweis, dass konsistente Mengen erfullbar sind, die Voll-
Standigkeit des Redehandlungskalkuls bezuglich der in Definition 5-10 fur L definierten
modelltheoretischen Konsequenzschaft gezeigt. Da GFORM, die Menge der geschlosse-
nen L-Formeln, abzahlbar ist, reicht es dabei, diesen Nachweis fur abzahlbare Mengen zu
erbringen. Dazu wird der Beweisweg uber die Konstruktion von Hintikka-Mengen und
den Nachweis, dass Hintikka-Mengen durch die entsprechende kanonische Termstruktur
erfullt werden, gewahlt.¹⁵ Dazu ist L zu einer Sprache LH zu erweitern, die aus L entsteht,
indem das Inventar von L um abzahlbar unendlich viele neue Individuenkonstanten er-
weitert wird:

Definition 6-1. Das Inventar von Lh (KONSTERW, PAR, VAR, FUNK, PRA, JUNK, QUANT,
PERF, HZ)

Das Inventar von L_h enthalt folgende paarweise disjunkte Mengen: Die abzahlbar unendliche
Menge Konsterw = konst ∪ konstneu, wobei konstneu = {c* | i ∈ n} (dabei
sei fur alle i, j ∈ N mit i ≠ j: c*_i ≠ c*_j∙ und c*_i ∈ {c*_i} und es sei KONST ∩ KONSTNEU = 0),
sowie PAR, VAR, FUNK, PRA, JUNK, QUANT, PERF, HZ.

Hinweis: Im Folgenden sei fur alle mit Definition D definierten Ausdrucke P PH der fur
LH statt L definierte Ausdruck und DH die entsprechende Definition und fur alle Theore-
me T sei TH das entsprechende Theorem fur LH. Dabei gilt fur das Verhaltnis von P und
PH jeweils, dass geeignete Einschrankungen von PH bzw. PH(a) auf L wieder zu P bzw.
P(a) fuhren. So gilt etwa: (i) EAUS = EAUSH ∩ EAUS, TERM = TERMH ∩ EAUS,
FORM = FORMH ∩ EAUS, SATZ = SATZH ∩ EAUS, SEQ = SEQH ∩ SEQ, RGS =
RGSh ∩ SEQ. (ii) TT = Π⅛ΓEAUS, TTSEQ = TTSEQ^SEQ, TTFM =
TTFMHfPot(FORM), A = A^SATZ, K = W SEQ, VAN = VANh(SEQ. (iii) Wenn ⅛ ∈
SEQ, dann RGF(U) = RGF_h(U) ∩ SEQ. Viele dieser Zusammenhange sind ohne techni-
sche Schwierigkeiten aber nur mit viel Schreibaufwand zu zeigen. Aus diesen Grunden
werden die Beweise hier nicht reproduziert. In jenen Fallen, in denen der Zusammenhang
nicht unmittelbar einsichtig ist oder im Beweisgang besondere Komplikationen zu bewal-

Siehe etwa Gradel, E.: Mathematische Logik, S. 109-119, Wagner, H.: Logische Systeme, S. 97-101,
und Kleinknecht, R.: Grundlagen der modernen Defmitionstheorie, S. 154-157.

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