Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

248   6 Korrektheit und Vollstandigkeit des Redehandlungskalkuls

Theorem 6-6. L-Sequenzen sind genau dann RGSH-Elemente, wenn sie RGS-Elemente sind
Wenn H ∈ SEQ, dann: H ∈ RGSH gdw H ∈ RGS.

Beweis: Der Beweis ist durch Induktion uber Dom(H) zu fuhren. Dabei ist der Indukti-
onsanfang mit 0 ∈ RGSH ∩ RGS gegeben und man uberzeugt sich fur H ∈ SEQ mit 0 <
Dom(H) leicht, dass wenn die Behauptung fur HfDom(H)-I gilt, sie auch fur H gilt. ■

Theorem 6-7. Eine L-Aussage ist genau dann aus einer L-Aussagenmenge LH-ableitbar, wenn
sie aus dieser Menge L-ableitbar ist

Wenn X ∪ {Γ} ⊆ GFORM, dann: X HH Γ gdw X H Γ.

Beweis: Sei X ∪ {Γ} ⊆ GFORM. Dann ergibt sich die Rechts-Links-Richtung direkt mit
Theorem 3-12, Theorem 6-6 und Theorem 3-12H. Fur die Links-Rechts-Richtung gelte
nun X HH Γ. Dann gibt es nach Theorem 3-12H ein H ∈ RGSH∖{0}, so dass VANH(H) ⊆
X und KH(H) = Γ. Dann lasst sich durch Induktion uber ∣KONSTNEU ∩ TTSEQH(H)I ∈
N zeigen, dass es ein H* ∈ SEQ ∩ (RGSH∖{0}) mit VANH(H*) = VANH(H) und KH(H*)
= KH(H) gibt. Mit Theorem 6-6 gilt dann fur ein solches H*, dass H* ∈ RGS∖{0},
VAN(H*) = VANH(H*) = VANH(H) ⊆ X und K(H*) = KH(H*) = KH(H) = Γ. Damit
ergibt sich dann X H Γ.

Sei ∣KONSTNEU ∩ TTSEQH(H)I = k und gelte die Behauptung fur alle H* mit
∣KONSTNEU ∩ TTSEQH(H*)∣ < k. Angenommen k = 0. Offenbar ist dann H selbst jenes
H* ∈ SEQ ∩ (RGSH∖{0}) mit VANH(H*) = VANH(H) und KH(H*) = KH(H). Sei nun 0 <
k. Sei nun α die Individuenkonstante mit dem groβten Index in KONSTNEU ∩
TTSEQH(H). Nun gibt es ein β ∈ PARYTTSEQH(H). Nach Theorem 4-9H gibt es dann ein
H* ∈ RGSHY{0} mit α ∉ TTSEQH(H*), TTSEQH(H*)Y{β} ⊆ TTSEQH(H), VANH(H) =
{[α, β, Β] I Β ∈ VANH(H*)} und KH(H) = [α, β, KH(H*)]. Da wegen VANH(H) ⊆ X ⊆
GFORM gilt, dass α ∉ TTFMH(VANH(H)), muss β ∉ TTFMH(VANH(H*)) und damit [α,
β, Β] = Β fur alle Β ∈ VANH(H*) gelten. Also VANH(H) = VANH(H*). Da wegen KH(H)
= Γ ∈ GFORM auch α ∉ TTH(KH(H)), muss sodann β ∉ TTH(KH(H*)) und damit KH(H)
= [α, β, K_h(H*)] = KH(H*) gelten. Also KH(H) = KH(H*). Aus α ∉ TTSEQH(H*) und
TTSEQH(H*)Y{β} ⊆ TTSEQH(H) folgt zudem ∣KONSTNEU ∩ TTSEQH(H*)∣ < k. Nach
I.V. gibt es dann ein H', so dass VANH(H') = VANH(H*) = VANH(H) und KH(H') =
KH(H*) = KH(H) und H' ∈ SEQ ∩ (RGSH∖{0}). ■

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