6.2 Vollstandigkeit des Redehandlungskalkuls 249
Theorem 6-8. Eine L-Aussagenmenge ist genau dann LH-konsistent, wenn sie L-konsistent ist
Wenn X ⊂ GFORM, dann: X ist konsistentH gdw X ist konsistent.
Beweis: Sei X ⊂ GFORM und sei X nicht konsistentH. Dann gilt mit Theorem 4-23h fur
alle Δ ∈ GFORMh, dass X Hh Δ. Dann gilt X Hh rc0 = c0∣ und X Hh γ∙(c0 = c0)∣. Nun
sind Γc0 = c0∣, Г—(c0 = c0)∣ ∈ GFORM und damit ergibt sich mit Theorem 6-7: X H ⅛ =
c0∣ und X H Г—(c0 = c0)∣ und somit ist X nicht konsistent. Sei nun X nicht konsistent.
Dann gibt es Α ∈ GFORM ⊂ GFORMh, so dass X H Α und X H Г—Α∣. Mit Theorem
6-7 ist dann auch X Hh Α und X Hh Г— Α∣ und damit ist X inkonsistentH. ■
Definition 6-2. Hintikka-Menge
X ist eine Hintikka-Menge
gdw
X ⊂ GFORMh und:
(i) Wenn Α ∈ AFORMh ∩ X, dann Г—Α^l ∉ X,
(ii) Wenn Α ∈ GFORMh und г——Α∣ ∈ X, dann Α ∈ X,
|
(iii) |
Wenn Α, Β |
∈ |
GFORMh und |
ΓΑ ∧ Β ∣ ∈ X, dann {Α, Β} ⊂ X, |
|
(iv) |
Wenn Α, Β |
∈ |
GFORMh und |
г—(Α ∧ Β)∣ ∈ X, dann {г— Α ∣, Г— в ∣} ∩ X ≠ 0, |
|
(v) |
Wenn Α, Β |
∈ |
GFORMh und |
ΓΑ V Β"1 ∈ X, dann {Α, Β} ∩ X ≠ 0, |
|
(vi) |
Wenn Α, Β |
∈ |
GFORMh und |
г—(Α V Β)∣ ∈ X, dann {Г— Α ∣, Г— в ∣} ⊂ X, |
|
(vii) |
Wenn Α, Β |
∈ |
GFORMh und |
W → Β∣ ∈ X, dann {г— Α ∣, Β} ∩ X ≠ 0, |
|
(viii) |
Wenn Α, Β |
∈ |
GFORMh und |
г—(Α → Β)∣ ∈ X, dann {Α, Г— Β ∣} ⊂ X, |
|
(ix) |
Wenn Α, Β |
∈ |
GFORMh und |
W → Β ∣ ∈ X, dann {Α, Β} ⊂ X oder {г—Α∣, г— Β ∣} |
|
(x) |
Wenn Α, Β |
∈ |
GFORMh und |
г—(Α θ Β)∣ ∈ X, dann {Α, г— Β ∣} ⊂ X oder {г—Α∣, |
Β} ⊂ X,
(xi) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORMh, wobei FVh(Δ) ⊂ {ξ}, und r∆ξ∆^l ∈ X, dann gilt fur
alle θ ∈ GTERMh, dass [θ, ξ, Δ] ∈ X,
(xii) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORMh, wobei FVh(Δ) ⊂ {ξ}, und r-∆ξ∆^l ∈ X, dann gibt es
ein θ ∈ GTERMh, so dass Г—[θ, ξ, Δ]∣ ∈ X.
(xiii) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORMh, wobei FVh(Δ) ⊂ {ξ}, und HξΔ∣ ∈ X, dann gibt es
ein θ ∈ GTERMh, so dass [θ, ξ, Δ] ∈ X,
(xiv) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORMh, wobei FVh(Δ) ⊂ {ξ}, und Γ-VξΔπ ∈ X, dann gilt fur
alle θ ∈ GTERMh, dass Г—[θ, ξ, Δ]∣ ∈ X,
(xv) Wenn θ ∈ GTERMh, dann rθ = θ∣ ∈ X,