Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

6.2 Vollstandigkeit des Redehandlungskalkuls 249

Theorem 6-8. Eine L-Aussagenmenge ist genau dann L_H-konsistent, wenn sie L-konsistent ist
Wenn X ⊂ GFORM, dann: X ist konsistent_H gdw X ist konsistent.

Beweis: Sei X ⊂ GFORM und sei X nicht konsistentH. Dann gilt mit Theorem 4-23_h fur
alle Δ ∈ GFORM_h, dass X H_h Δ. Dann gilt X H_h ^rc₀ = c₀∣ und X H_h ^γ∙(c₀ = c₀)∣. Nun
sind Γc₀ = c₀∣, Г—(c₀ = c₀)∣ ∈ GFORM und damit ergibt sich mit Theorem 6-7: X H ⅛ =
c₀∣ und X H Г—(c₀ = c₀)∣ und somit ist X nicht konsistent. Sei nun X nicht konsistent.
Dann gibt es Α ∈ GFORM ⊂ GFORM_h, so dass X H Α und X H Г—Α∣. Mit Theorem
6-7 ist dann auch X H_h Α und X H_h Г— Α∣ und damit ist X inkonsistent_H. ■

Definition 6-2. Hintikka-Menge

X ist eine Hintikka-Menge

gdw

X ⊂ GFORMh und:

(i) Wenn Α ∈ AFORM_h ∩ X, dann Г—Α^^l ∉ X,

(ii) Wenn Α ∈ GFORM_h und г——Α∣ ∈ X, dann Α ∈ X,

Β} ⊂ X,

(xi) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM_h, wobei FV_h(Δ) ⊂ {ξ}, und r∆ξ∆^^l ∈ X, dann gilt fur
alle θ ∈ GTERMh, dass [θ, ξ, Δ] ∈ X,

(xii) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM_h, wobei FV_h(Δ) ⊂ {ξ}, und r-∆ξ∆^^l ∈ X, dann gibt es
ein θ ∈ GTERM_h, so dass Г—[θ, ξ, Δ]∣ ∈ X.

(xiii) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM_h, wobei FV_h(Δ) ⊂ {ξ}, und HξΔ∣ ∈ X, dann gibt es
ein θ ∈ GTERM_h, so dass [θ, ξ, Δ] ∈ X,

(xiv) Wenn ξ ∈ VAR, Δ ∈ FORM_h, wobei FV_h(Δ) ⊂ {ξ}, und Γ-VξΔ^π ∈ X, dann gilt fur
alle θ ∈ GTERM_h, dass Г—[θ, ξ, Δ]∣ ∈ X,

(xv) Wenn θ ∈ GTERM_h, dann rθ = θ∣ ∈ X,

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