Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

250   6 Korrektheit und Vollstandigkeit des Redehandlungskalkuls

(xvi)  Wenn θ₀, ..., θ_r-1 ∈ GTERMH, θ'₀, ..., θ'_r-1 ∈ GTERMH, fur alle i < r: ^rθ_i = θ'_i^^l ∈ X

und φ ∈ FUNK r-stellig, dann ^rφ(θ₀, ., θ_r-1) = φ(θ'₀, ., θ'_r-ι)^^l ∈ X, und

(xvii)  Wenn θ₀, ., θ_r-1 ∈ GTERMH, θ'₀, ., θ'_r-1 ∈ GTERMH, fur alle i < r: ^rθ_i = θ'_i^^l ∈ X

und Φ ∈ PRA r-stellig und ^rΦ(θ₀, ., θ_r-1)^^l ∈ X, dann ^rΦ(θ'₀, ., θ'_r-1)^^l ∈ X.

Theorem 6-9. Hintikka-Obermengen fur konsistente L-Aussagenmengen

Wenn X ⊆ GFORM und X konsistent, dann gibt es ein Y ⊆ GFORMH, so dass

(i)   Y ist eine Hintikka-Menge und

(ii) X ⊆ Y.

Beweis: Sei X ⊆ GFORM und X konsistent. Sei nun g eine Bijektion zwischen N und
GFORMH. Nun wird unter Ruckgriff auf g mit Hilfe der (Konversen der) Cantorschen
Paarungsfunktion C eine Aufzahlung der Γ ∈ GFORMH definiert, in der jede Aussage
abzahlbar unendlich oft als Wert auftritt.¹⁶ Sei dazu F = {(k, Γ) | Es gibt i, j ∈ N, k =
(i-+^j) ^lζ^{l j}'ŋ ∙j und γ = g(j)}. Dann ist F eine Funktion von N nach GFORMH. Zunachst ist
Dom(F) ⊆ N. Sei nun k ∈ N. Dann gilt mit der Surjektivitat der CANTORschen Paarungs-
funktion und Dom(g) = N, dass es i, j ∈ N und Γ ∈ GFORMH gibt, so dass k =
^(i+j) (i^{l j}'ŋ ∙j und γ = g(j). Also ist auch N ⊆ Dom(F) und damit insgesamt Dom(F) = N.
Nach den Definitionen von F und g gilt sodann Ran(F) ⊆ GFORMH. Seien nun (k, Γ), (k,

Γ*) ∈ F. Dann gibt es i, j und i', j' so dass ⁽i^j(2⁺j⁺-⁾+j = k = ^(i,+j7) <ζ^+j'^+1l+j' und Γ =

g(j) und Γ* = g(j'). Dann ist wegen der Injektivitat der Cantorschen Paarungsfunktion i
= i' und j = j' und damit mit der Injektivitat von g: Γ = g(j) = g(j') = Γ*. Sodann gilt fur al-
le l ∈ N und alle Γ ∈ GFORMH: Es gibt ein k > l, so dass F(k) = Γ. Sei namlich l ∈ N
und Γ ∈ GFORMH. Dann gibt es ein s ∈ N, so dass Γ = g(s). Dann ist l ≤ ^{(l+s) (}^^+s+1)+s <

Nun wird unter Ruckgriff auf F eine Funktion G auf N definiert, mit der die gewunsch-
te Hintikka-Obermenge zu X erzeugt wird. Sei dazu G(0) = X. Fur alle k ∈ N sei nun
G(k+1) wie folgt bestimmt: Wenn F(k) ∈ G(k), dann:

¹⁶ Zur CANTORschen Paarungsfunktion C: N × N → N mit C(i, j) = (i + j) ∙ (i + j + 1)∕2+j siehe etwa
Deiser, O.: Mengenlehre, S. 112-113.

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