Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

6.2 Vollstandigkeit des Redehandlungskalkuls 253

Theorem 4-24H: G(k) HH ^rΛξΔ^^l. Dann ist G(k) inkonsistentH. Widerspruch! Den Fall
F (k) = ^rVξΔ^^l zeigt man analog. Also b).

Durch Induktion uber k zeigt man sodann leicht, dass nach der Definition von G c) gilt.
Damit gilt auch d): Sei dazu Y ⊆ URan(G) und |Y| ∈ N. Dann gilt fur alle Γ ∈ Y: Es gibt
ein l ∈ N, so dass Γ ∈ G(l). Sei nun k = max({l | Es gibt ein Γ ∈ Y, so dass Γ ∈ G(l)}.
Dann gilt mit c) fur alle Γ ∈ Y: Γ ∈ G(k).

Damit gilt auch e). Ware namlich URan( G) inkonsistentH. Dann gabe es eine endliche
inkonsistenteH Teilmenge Y von URan(G) und damit ein k, so dass G(k) inkonsistentH
ware, was im Widerspruch zu b) steht.

Damit kann nun gezeigt werden, dass URan( G) eine Hintikka-Menge ist. Zunachst gilt
mit e) Klausel (i) von Definition 6-2. Sei nun ^r——.Α ∈ URan(G). Dann gibt es ein l ∈
N, so dass ^r——.Α ∈ G(l). Sodann gibt es ein k > l, so dass ^r——Α^^l = F(k). Dann ist mit
c) ^r——.V ∈ G(k). Dann ist nach (iii*) Α ∈ G(k+1) und damit Α ∈ URan(G). Also gilt
Klausel (ii) von Definition 6-2. Die anderen junktoralen Falle (Klauseln (iii) bis (x) von
Definition 6-2) und die beiden Partikularfalle (Klauseln (xii) und (xiii) von Definition
6-2) zeigt man analog.

Sei nun θ ∈ GTERMH. Dann gibt es ein k ∈ N, so dass ^rθ = θ^^l = F (k). Dann gilt: Wenn
^rθ = θ^^l ∉ G (k), dann ^rθ = θ^^l ∈ G (k+1) und somit in beiden Fallen: ^rθ = θ^^l ∈ URan( G).
Damit gilt zum einen Klausel (xv) von Definition 6-2. Zum anderen gelten damit die bei-
den Universalfalle, Klauseln (xi) und (xiv) von Definition 6-2. Sei namlich ^rΛξΔ^^l ∈
URan( G). Sei nun θ ∈ GTERMH. Dann ist (wie eben gezeigt) ^rθ = θ^^l ∈ G (l) fur ein l ∈
N und es ist ^rΛξΔ^^l ∈ G(i) fur ein i ∈ N. Sodann gibt es ein k > l, i, so dass ^rΛξΔ^^l =
F (k). Dann ist mit c) ^rΛξΔ^^l, ^rθ = θ^^l ∈ G (k). Dann ist nach (xii*) [θ, ξ, Δ] ∈ G (k+1) und
damit [θ, ξ, Δ] ∈ URan( G). Also gilt Klausel (xi) von Definition 6-2. Klausel (xiv) zeigt
man analog.

Nun verbleiben noch die zwei IB-Klauseln, also Klauseln (xvi) und (xvii), von
Definition 6-2. Zunachst zu (xvi): Sei dazu θ*₀, ..., θ*_s-ι ∈ GTERMH, θ⁺₀, ..., θ⁺_s-ι ∈
GTERMH, fur alle i < s: ^rθ*_i = θ⁺_i^^l ∈ URan( G) und φ ∈ FUNK s-stellig. Wie bereits ge-
zeigt, ist ^rφ(θ*₀, ., θ*_s-ι) = φ(θ*₀, ., θ*_s-ι)^^l ∈ URan( G). Damit gibt es mit d) ein l ∈ N,

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