6.2 Vollstandigkeit des Redehandlungskalkuls 253
Theorem 4-24H: G(k) HH rΛξΔ^l. Dann ist G(k) inkonsistentH. Widerspruch! Den Fall
F (k) = rVξΔ^l zeigt man analog. Also b).
Durch Induktion uber k zeigt man sodann leicht, dass nach der Definition von G c) gilt.
Damit gilt auch d): Sei dazu Y ⊆ URan(G) und |Y| ∈ N. Dann gilt fur alle Γ ∈ Y: Es gibt
ein l ∈ N, so dass Γ ∈ G(l). Sei nun k = max({l | Es gibt ein Γ ∈ Y, so dass Γ ∈ G(l)}.
Dann gilt mit c) fur alle Γ ∈ Y: Γ ∈ G(k).
Damit gilt auch e). Ware namlich URan( G) inkonsistentH. Dann gabe es eine endliche
inkonsistenteH Teilmenge Y von URan(G) und damit ein k, so dass G(k) inkonsistentH
ware, was im Widerspruch zu b) steht.
Damit kann nun gezeigt werden, dass URan( G) eine Hintikka-Menge ist. Zunachst gilt
mit e) Klausel (i) von Definition 6-2. Sei nun r——.Α ∈ URan(G). Dann gibt es ein l ∈
N, so dass r——.Α ∈ G(l). Sodann gibt es ein k > l, so dass r——Α^l = F(k). Dann ist mit
c) r——.V ∈ G(k). Dann ist nach (iii*) Α ∈ G(k+1) und damit Α ∈ URan(G). Also gilt
Klausel (ii) von Definition 6-2. Die anderen junktoralen Falle (Klauseln (iii) bis (x) von
Definition 6-2) und die beiden Partikularfalle (Klauseln (xii) und (xiii) von Definition
6-2) zeigt man analog.
Sei nun θ ∈ GTERMH. Dann gibt es ein k ∈ N, so dass rθ = θ^l = F (k). Dann gilt: Wenn
rθ = θ^l ∉ G (k), dann rθ = θ^l ∈ G (k+1) und somit in beiden Fallen: rθ = θ^l ∈ URan( G).
Damit gilt zum einen Klausel (xv) von Definition 6-2. Zum anderen gelten damit die bei-
den Universalfalle, Klauseln (xi) und (xiv) von Definition 6-2. Sei namlich rΛξΔ^l ∈
URan( G). Sei nun θ ∈ GTERMH. Dann ist (wie eben gezeigt) rθ = θ^l ∈ G (l) fur ein l ∈
N und es ist rΛξΔ^l ∈ G(i) fur ein i ∈ N. Sodann gibt es ein k > l, i, so dass rΛξΔ^l =
F (k). Dann ist mit c) rΛξΔ^l, rθ = θ^l ∈ G (k). Dann ist nach (xii*) [θ, ξ, Δ] ∈ G (k+1) und
damit [θ, ξ, Δ] ∈ URan( G). Also gilt Klausel (xi) von Definition 6-2. Klausel (xiv) zeigt
man analog.
Nun verbleiben noch die zwei IB-Klauseln, also Klauseln (xvi) und (xvii), von
Definition 6-2. Zunachst zu (xvi): Sei dazu θ*0, ..., θ*s-ι ∈ GTERMH, θ+0, ..., θ+s-ι ∈
GTERMH, fur alle i < s: rθ*i = θ+i^l ∈ URan( G) und φ ∈ FUNK s-stellig. Wie bereits ge-
zeigt, ist rφ(θ*0, ., θ*s-ι) = φ(θ*0, ., θ*s-ι)^l ∈ URan( G). Damit gibt es mit d) ein l ∈ N,
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