Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



6.2 Vollstandigkeit des Redehandlungskalkuls 255

Sei nun DX = GTERMH/A = {[θ]A | θ GTERMH}. Sei sodann IX eine Funktion mit
Dom(
IX) = KONST KONSTNEU FUNK PRA, wobei fur alle α KONST
KONSTNEU: IX(α) = [α]A und fur alle φ FUNK: Wenn φ r-stellig, dann IX(φ) =
{(
<o]A, ., [θr]A), [θ*]A) | (<θo, ., θr>, θ*) rGTERMH × GTERMh und rφ(θo, .,
θ
r) = θ*^l X} und fur alle Φ PRA: Wenn Φ r-stellig, dann IX (Φ) = {<0] A, ...,
r-1]A) | <θ0, ∙∙∙, θr) rGTERMH und rΦ(θ0, ., θr-1)^l X}. Sei zuletzt bX eine Funkti-
on mit Dom(
bX) = PAR und fur alle β PAR: bX(β) = [β]A.

Dann ist nach Definition 5-1h IX eine InterpretationsfunktionH fur DX. Zunachst gilt fur
alle α
KONST KONSTNEU: IX(α) = [α]A DX. Sei nun φ FUNK r-stellig. Dann
ist
IX(φ) = {(<o]A, ., [θr-1]A), [θ*]A) | (<θo, ., θr-1), θ*) rGTERMH × GTERMH und
rφ(θ0, ., θr-1) = θ*^l X}. Damit ist IX(φ) rDx × DX. Sei nun <a0, ., ar-1) rDx.
Dann gibt es θ
o, ., θr-1 GTERMH, so dass fur alle i r: ai = [θi]A. Sodann gilt mit
Definition 6-2-(xv)
rφ(θo, ., θr) = φ(θo, ., θr)^l X und damit (<o] A, ., [θr] A),
[φ(θ
o, ., θr-1)]A) IX(φ) und also <ao, ., ar-1) Dom(IX(φ)). Seien nun (<ao, ., ar-1),
a*) IX(φ) und (<ao, ., ar-1), a+) IX(φ). Dann gibt es θo, ., θr-1 und θ*, so dass fur al-
le
i r: ai = [θi]A und a* = [θ*]A und (<θo, ., θr-1), θ*) rGTERMH × GTERMH und
rφ(θ0, ., θr-1) = θ*^l X und es gibt θ'0, ., θ'r-1 und θ+, so dass fur alle i r: ai = [θ'i]A
und a+ = [θ+]A und (<θ'o, ., θ'r), θ+) rGTERMH × GTERMH und rφ(θ'o, ., θ'r) = θ+π
X. Dann gilt fur alle i r: [θi]A = ai = [θ'i]A. Damit gilt dann fur alle i r: (θi, θ'i) A
und damit rθi = θ'Γ X. Damit gilt nach Definition 6-2-(xvi): rφ(θ0, ., θr-1) = φ(θ'0, .,
θ'
r)π X und damit mit b): [ rφ(θo, ., θr)π ]A = [ rφ(θ'o, ., θ'r)π ]A. Mit rφ(θo, ., θr)
= θ
*^l X und rφ(θ'0, ., θ'r-1) = θ+^l X und b) gilt sodann auch [ rφ(θ0, ., θr-1)π ]A =
[θ*]
A und [rφ(θ'0, ., θ'r-1)^l ] A = [θ+] A und damit insgesamt a * = [θ*] A = [θ+] A = a+. Also
ist
IX(φ) insgesamt eine r-stellige Funktion uber DX. Ferner gilt fur alle Φ PRA: Wenn
Φ
r-stellig ist, dann IX(Φ) rDX. Zuletzt gilt IX(r=^l) = {<a, a) | a DX}. Sei namlich <a,
a') IX(r=^l). Dann gibt es θ, θ' GTERMH, so dass a = [θ]A und a' = [θ']A und rθ = θπ
X. Damit ergibt sich mit b): a = [θ]A = [θ']A = a'. Sei nun a DX. Dann gibt es ein θ



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