Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

254   6 Korrektheit und Vollstandigkeit des Redehandlungskalkuls

so dass fur alle i < s: ^rθ*_i = θ⁺f^l ∈ G(l) und ^rφ(θ*₀, ..., θ*_s-1) = φ(θ*₀, ■■■, θ*_s-1)^π ∈ G(l).
Dann gibt es ein k > l, so dass fur G(k) selbiges gilt und F(k) = ^rφ(θ*₀, ..., θ*_s-1) = φ(θ*₀,
..., θ*_s-1)^^l. Dann ist mit (i*) ^rφ(θ*₀, ., θ*_s-1) = φ(θ⁺₀, ., θ⁺_s-1)^π ∈ G(k+1) ⊆ URan(G).

Nun zu (xvii): Sei dazu θ0, ., θr-1 ∈ GTERMH, θ'0, ., θ'r-1 ∈ GTERMH, fur alle i < r:
^rθ_i = θ'_i^^l ∈ URan( G) und Φ ∈ PRA r-stellig und ^rΦ(θ₀, ., θ_r-1)^^l ∈ URan( G). Dann gibt
es mit d) ein l ∈ N, so dass fur alle i < r: ^rθ_i = θ'f ∈ G (l) und ^rΦ(θ₀, ., θ_r-1)^^l ∈ G (l).
Dann gibt es ein k > l, so dass fur G(k) selbiges gilt und F(k) = ^rΦ(θ₀, ., θ_r-1)^^l. Dann ist
mit (i*) ^rΦ(θ'₀, ., θ'_r-1)^^l ∈ G(k+1) ⊆ URan(G). ■

Theorem 6-10. Jede Hintikka-Menge ist LH-erfullbar

Wenn X eine Hintikka-Menge ist, dann ist X erfullbarH.

Beweis: Sei X eine Hintikka-Menge. Sei nun A = {(θ, θ') | (θ, θ') ∈ GTERMH ×
GTERMh und ^rθ = θ'^π ∈ X}.

Dann gilt: A ist eine Aquivalenzrelation uber GTERM_h. Zur Reflexivitat gilt nach
Definition 6-2-(xv): ^rθ = θ^^l ∈ X und damit (θ, θ) ∈ A. Nun zur Symmetrie: Sei (θ, θ') ∈
A. Dann ist ^rθ = θ'^^l ∈ X und es ist, wie eben gezeigt, ^rθ = θ^^l ∈ X. Damit ist dann ^rθ =
θ'^^l ∈ X und ^rθ = θ^^l ∈ X und damit (mit θ fur θ₀, θ₁ und θ'₁ und θ' fur θ'₀ und ^rθ = θ^^l fur
^rΦ(θ₀, θ₁)^^l und ^rθ' = θ^^l fur ^rΦ(θ'₀, θ'₁)^^l) nach Definition 6-2-(xvii) auch ^rθ' = θ^^l ∈ X.
Also (θ, θ') ∈ A. Nun zur Transitivitat: Sei (θ, θ') ∈ A und (θ', θ*) ∈ A. Dann gilt: ^rθ =
θ'^^l ∈ X und ^rθ' = θ*^^l ∈ X. Sodann gilt wie bereits gezeigt ^rθ = θ^^l ∈ X, womit (mit θ fur
θo und θ'o und θ' fur θ1 und θ* fur θ'1 und ^rθ = θ'^π fur ^rΦ(θo, θ1)^π und ^rθ = θ*^π fur ^rΦ(θ'o,
θ'₁)^^l) nach Definition 6-2-(xvii) auch ^rθ = θ*^^l ∈ X gilt und damit (θ, θ*) ∈ A.

Sei nun fur alle θ ∈ GTERMH: [θ]_A = {θ' | (θ, θ') ∈ A}. Da A eine Aquivalenzrelation
uber GTERMH ist, gilt dann:

a) Fur alle θ ∈ GTERMH: θ ∈ [θ]_A.

b) Fur alle θ, θ' ∈ GTERMh: [θ]A = [θ']A gdw (θ, θ') ∈ A gdw ^rθ = θ" ∈ X.

c) Fur alle θ, θ' ∈ GTERMh: Wenn [θ]A ∩ [θ']A ≠ 0, dann [θ]A = [θ']A.

Die zweite Aquivalenz in b) ergibt sich dabei aus der Definition von A.

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