Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



256   6 Korrektheit und Vollstandigkeit des Redehandlungskalkuls

GTERMH, so dass a = [θ]A. Dann gilt nach Definition 6-2-(xv) rθ = θ^l X und damit
ergibt sich
(a, a) IX(r=^l). Damit ist dann gemaβ Definition 5-2H (DX, IX) ein ModellH.
Sodann sieht man leicht ein, dass
bχ eine BelegungH fur DX ist.

Sodann gilt fur alle φ FUNK: Wenn φ r-stellig ist und θ0, ..., θr-1 GTERMH, dann:
IX(φ)((o]A, ., [θr]A)) = [ rφ(θo, ., θr)π ]A. Seien dazu φ FUNK r-stellig und θo, .,
θ
r-1 GTERMH. Dann gilt mit Definition 6-2-(xv) rφ(θ0, ., θr-1) = φ(θ0, ., θr-1)^l X
und damit ((o]A, ., [θr-1]A), [φ(θo, ., θr-1)]A) IX(φ) und damit IX(φ)((o]A, ., [θr-1]A))
= [
rφ(θo, ., θr-1Γ]A.

Nun wird gezeigt, dass fur alle Φ PRA: Wenn Φ r-stellig ist und θ0, ., θr-1
GTERMH, dann: (0]A, ., [θr-1]A) IX(Φ) gdw rΦ(θ0, ., θr-1)^l X. Seien dazu Φ
PRA, Φ r-stellig und θo, ., θr-1 GTERMH. Gelte nun zunachst (o]A, ., [θr-1]A)
IX(Φ). Dann gibt es θ'o, ., θ'r-1, so dass fur alle i r: [θi]A = [θ'i]A und (θ'o, ., θ'r-1)
r
GTERMH und rΦ(θ'0, ., θ'r-1)^l X. Dann gilt mit b) fur alle ir: rθ- = θ,f X. Mit
der oben gezeigten Symmetrie gilt dann fur alle
i r: rθ'i = θ,ɔ X. Sodann gilt rΦ(θ'0,
., θ'
r-1)^l X und damit nach Definition 6-2-(xvii) auch rΦ(θ0, ., θr-1)^l X. Sei nun
umgekehrt
rΦ(θ0, ., θr-1)^l X. Dann ergibt sich leicht, dass ([θ]0, ., [θ]r-1) IX (Φ).

Sodann ergibt sich mit Theorem 5-2H durch Induktion uber den Termaufbau fur alle θ
GTERMH: TD(θ, DX, IX, bX) = [θ]A. Sei namlich α KONST KONSTNEU. Dann ist
TD(α,
DX, IX, bX) = IX(α) = [α]A. Sei β PAR. Dann ist TD(β, DX, IX, bX) = bX(β) = [β]A.
Gelte die Behauptung nun fur θ0, ., θ
r-1 GTERMH und sei rφ(θ0, ., θr-1)^l
FTERMH. Dann ist TDH(rφ(θo, ., θr)π, DX, IX, bX) = IX (φ)((TD(θo, DX, IX, bX), .,
TD
Hr, DX, IX, bX))) und damit mit I.V. TDH(rφ(θo, ., W, DX, IX, bX) = IX(φ)((o]A,
., [θ
r] A)) = [rφ(θo, ., θr)π] A.

Damit gilt dann fur alle Α AFORMH: DX, IX, bX ⅛ Α gdw Α X. Sei namlich Α
AFORMH. Dann gibt es Φ PRA, Φ r-stellig, und θo, ., θr-1 GTERMH, so dass Α =
rΦ(θo, ., θ ) . Dann gilt:

Dx , IX, bX ⅛ a

gdw

Dx, Iχ, bχrΦ(θo, ., θr,ιΓ



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