Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

2.1 Abschnitte und Abschnittsfolgen

Theorem 2-4. Abschnitte mit gleichem Anfang und Ende sind identisch

Wenn й ∈ SEQ, ЭД, ЭД' ∈ ABS(⅛), min(Dom(^)) = min(Dom(W)) und max(Dom(2l.)) =
max(Dom(W)), dann ЭД = ЭД'.

Beweis: Sei й ∈ SEQ, ЭД, ЭД' ∈ ABS(⅛), min(Dom(^)) = min(Dom(^')) und
max(Dom(2l)) = max(Dom(2l')). Dann gilt fur alle (і, й): (і, й«) ∈ ЭД gdw min(Dom(2l))
≤ і ≤ max(Dom(^)) gdw min(Dom(^')) ≤ і ≤ max(Dom(^')) gdw (і, й«) ∈ ЭД'. ■

Theorem 2-5. Inklusionsverhdltnisse zwischen Abschnitten

Wenn й ∈ SEQ und ЭД, ЭД' ∈ ABS($), dann:

(i)   min(Dom(^)) ≤ min(Dom(W)) und max(Dom(W)) ≤ max(Dom(^)) gdw ЭД' ⊆ ЭД, und

(ii) Wenn min(Dom^)) = min(Dom^')), dann ЭД ⊆ ЭД' oder ЭД' ⊆ ЭД.

Beweis: Seien й ∈ SEQ und ЭД, ЭД' ∈ ABS($). Dann ist

ЭД = {(і, йі) | min(Dom^)) ≤ l ≤ max(Dom(2l))[
und

ЭД' = {(і, йі) | min(Dom(⅛^')) ≤ l ≤ max(Dom(⅛^'))}.

Zu (i): Sei min(Dom(2l)) ≤ min(Dom(2l')) und max(Dom(2l')) ≤ max(Dom(2l)). Sei (і, йі)
∈ ЭД'. Dann ist min( Dom(2l')) ≤ l ≤ max(Dom(2l')) und damit nach Voraussetzung
min(Dom(2l)) ≤ min(Dom(2l')) ≤ l ≤ max(Dom(2l')) ≤ max(Dom(2l)). Also ist (l, йі) ∈ ЭД.

Sei nun ЭД' ⊂ ЭД. Dann sind min(Dom^')), max(Dom(2l')) ∈ Dom(2l) und somit
min(Dom(2l)) ≤ min(Dom(2l')) und max(Dom(2l')) ≤ max(Dom(2l)).

Zu (ii): Sei min(Dom(2l)) = min(Dom(2l')). Dann ist max(Dom(2l)) ≤ max(Dom(2l')) oder
max(Dom(2l')) ≤ max(Dom(2l)). Im ersten Fall ergibt sich dann mit (i): ЭД ⊂ ЭД' im zwei-
ten Fall ergibt sich mit (i): ЭД' ⊂ ЭД. ■

Theorem 2-6. Nicht-Ieere Beschrdnkungen von Abschnitten sind Abschnitte

Wenn й ∈ SEQ und ЭД ∈ ABS($), dann gilt fur alle к ∈ Dom^): ЭДГк+1 ∈ ABS($).

Beweis: Sei й ∈ SEQ und ЭД ∈ ABS(⅛) und sei к ∈ Dom^). Dann gilt, dass
min(Dom(2l)) < к+1 ≤ max(Dom(2l))'1. Damit gilt, dass ЭДГк+1 = {(і, й«) | min(Dom(^))
≤ і ≤ max(Dom^))}Γk+1 = {(і, й«) | min(Dom(^)) ≤ і ≤ к} = {(і, й«) | min(Dom^Γk+1))
≤ і ≤ max(Dom^Γk+1))} und dass ЭДГк+1 ⊂ ЭД ⊂ й. AuBerdem gilt к ∈ Dom^Γk+1)
und somit, dass ЭДГк+1 ≠ 0. Also gilt ЭДГк+1 ∈ ABS(⅛). ■

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