Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



54    2 Verfugbarkeit von Aussagen

Definition 2-6. Passende Folgen naturlicher Zahlen fur Teilmengen von Sequenzen

g ist eine passende Folge naturlicher Zahlen fur a
gdw

Es gibt ein A ∈ SEQ, so dass a ⊆ A und g eine streng monoton wachsende Folge naturlicher
Zahlen mit Ran(
g) = Dom(a) ist.

Zweck der Definition ist es zunachst, die Elemente (des Definitionsbereichs) einer Teil-
menge einer Sequenz unter Wahrung der naturlichen Ordnung aufzahlen zu konnen. So-
dann konnen passende Folgen dazu verwendet werden, um aus Abschnitten von Sequen-
zen Sequenzen zu machen, indem man den Abschnitt mit einer zu ihm passenden Folge
naturlicher Zahlen verknupft. In gewisser Weise handelt es sich also um eine Umkehrope-
ration zur Folgenverkettung.

Theorem 2-10. Existenz passender Folgen naturlicher Zahlen

Wenn A ∈ SEQ und a ⊆ A, dann gibt es ein g, so dass g eine passende Folge naturlicher Zah-
len fur
a ist.

Beweis: Sei A ∈ SEQ und a ⊆ A. Der Beweis wird induktiv uber die Machtigkeit von a
gefuhrt. Sei a = 0. Sei g = 0. Dann ist g trivialerweise eine streng monoton wachsende
Folge naturlicher Zahlen mit Ran(
g) = Dom(a). Sei nun a = k+1. Dann ist k = 0 oder k
> 0. Im ersten Fall ist {(0, max(Dom(a)))} eine passende Folge naturlicher Zahlen fur a.
Sei nun
k > 0. Da a eine endliche Funktion ist, ist a∖{(max(Dom(a)), amax(Dom(a)))} = k.
Auβerdem ist
a∖{(max(Dom(a)), amax(Dom(a)))} ⊆ A. Also gibt es nach I.V. ein g, so dass
g eine passende Folge naturlicher Zahlen fur a∖{(max(Dom(a)), amax(Dom(a)))} ist. Sei
nun
g' = g ∪ {(Dom(g), max(Dom(a)))}. Offenbar ist Ran(g') = Dom(a). Wegen

g(max(Dom(g))) = max(Ran(g)) = max(Dom(a∖{(max(Dom(a)), aιmaχ(Dom(a)))}))
< max(Dom(
a)) = max(Ran(g')) = g'(Dom(g)) = g'(max(Dom(g')))

ubertragt sich die strenge Monotonie von g auf g'. Also ist g' eine passende Folge naturli-
cher Zahlen fur
a. ■



More intriguing information

1. Searching Threshold Inflation for India
2. Impact of Ethanol Production on U.S. and Regional Gasoline Prices and On the Profitability of U.S. Oil Refinery Industry
3. ARE VOLATILITY EXPECTATIONS CHARACTERIZED BY REGIME SHIFTS? EVIDENCE FROM IMPLIED VOLATILITY INDICES
4. Should Local Public Employment Services be Merged with the Local Social Benefit Administrations?
5. Les freins culturels à l'adoption des IFRS en Europe : une analyse du cas français
6. ALTERNATIVE TRADE POLICIES
7. Regional specialisation in a transition country - Hungary
8. The name is absent
9. Should informal sector be subsidised?
10. The name is absent