Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

52    2 Verfugbarkeit von Aussagen

Theorem 2-7. Beschrankungen eines Abschnitts, die Abschnitte sind, haben denselben Anfang
wie der beschrankte Abschnitt

Wenn 2 ein Abschnitt in A ist, dann gilt fur alle k ∈ Dom(2l.): Wenn 2∖k ein Abschnitt in A
ist, dann ist min(Dom(2ll k)) = min(Dom(2l.)).

Beweis: Sei 2 ein Abschnitt in A. Sei nun k ∈ Dom(2) und sei 2∖k ein Abschnitt in A
und damit insbesondere 2∖k ≠ 0. Dann gilt: 2∖k = {(i, Ai) | min(Dom(2)) ≤ i ≤
max(Dom(2))}∖k = {(i, Ai) | min(Dom(2)) ≤ i ≤ k-1} und wegen 2∖k ≠ 0 mithin
min(Dom(2∖k)) = min(Dom(2)). ■

Theorem 2-8. Zwei Abschnitte sind genau dann elementfremd, wenn einer von beiden vor dem
anderen liegt

Wenn A ∈ SEQ und 2, 2' ∈ ABS(A), dann:

2 ∩ 2' = 0
gdw

(i)   min(Dom(2)) < min(Dom(2')) und max(Dom(2)) < min(Dom(2'))

oder

(ii) min(Dom(2')) < min(Dom(2)) und max(Dom(2')) < min(Dom(2)).

Beweis: Sei A ∈ SEQ und 2, 2' ∈ ABS(A) und sei 2 ∩ 2' = 0. Dann ist

min(Dom(2)) < min(Dom(2'))
oder

min(Dom(2)) = min(Dom(2'))
oder

min(Dom(2')) < min(Dom(2)).

Der zweite Fall min(Dom(2)) = min(Dom(2')) kann nicht eintreten, denn sonst ware
(min(Dom(2)), Amin(Dom(2))) ∈ 2 und (min(Dom(2)), Amin(Dom(2))) ∈ 2' und damit 2 ∩ 2'
≠ 0.

Angenommen min(Dom(2)) < min(Dom(2')). Ware nun min(Dom(2')) ≤
max(Dom(2)), dann ware (min(Dom(2')), Amin(Dom(₂'))) ∈ 2 und (min(Dom(2')),
⅛_min(D_om(₂'))) ∈ 2'. Also 2 ∩ 2' ≠ 0. Daher gilt im ersten Fall min(Dom(2)) <
min(Dom(2')) und max(Dom(2)) < min(Dom(2')).

Angenommen min(Dom(2')) < min(Dom(2)). Ware nun min(Dom(2)) ≤
max(Dom(2')), dann ware (min(Dom(2)), A_min(D_om(₂))) ∈ 2' und (min(Dom(2)),
⅛_min(Do_m(₂))) ∈ 2. Also 2 ∩ 2' ≠ 0. Daher gilt im dritten Fall min(Dom(2')) <
min(Dom(2)) und max(Dom(2')) < min(Dom(2)).

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