Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

2.1 Abschnitte und Abschnittsfolgen

Sei nun min(Dom(2l)) < min(Dom(2')) und max(Dom(2l)) < min(Dom(2l')) oder
min(Dom(2')) < min(Dom(2)) und max(Dom(2')) < min(Dom(2)). Ware es nun der
Fall, dass 2 ∩ 2' ≠ 0. Dann gabe es ein i, so dass (i, ⅛_i) ∈ 2 ∩ 2'. Dann gilt
min(Dom(2)) ≤ i ≤ max(Dom(2)) und min(Dom(2')) ≤ i ≤ max(Dom(2')). Damit wurde
gelten: min(Dom(2')) < min(Dom(2')) oder min(Dom(2)) < min(Dom(2)). Wider-
spruch! Also ist 2 ∩ 2' = 0. ■

Theorem 2-9. Zwei Abschnitte sind genau dann nicht elementfremd, wenn der Anfang von
einem von beiden in dem anderen liegt

Wenn A ∈ SEQ und 2, 2' ∈ ABS(⅛), dann:

2 ∩ 2' ≠ 0

gdw

(i)   min(Dom(2)) ∈ Dom(2')

oder

(ii) min(Dom(2')) ∈ Dom(2).

Beweis: Sei .2 ∈ SEQ und 2, 2' ∈ ABS(⅛). (L-R): Sei 2 ∩ 2' ≠ 0. Dann gibt es ein i ∈
Dom(⅛), so dass (i, ⅛_i) ∈ 2 ∩ 2'. Dann gilt:

min(Dom(2)) ≤ i ≤ max(Dom(2)) und min(Dom(2')) ≤ i ≤ max(Dom(2'))
und

min(Dom(2')) ≤ min(Dom(2)) oder min(Dom(2)) ≤ min(Dom(2')).

Damit ist dann

min(Dom(2')) ≤ min(Dom(2)) ≤ i ≤ max(Dom(2'))
oder

min(Dom(2)) ≤ min(Dom(2')) ≤ i ≤ max(Dom(2)).

Damit gilt wiederum:

min(Dom(2)) ∈ Dom(2') oder min(Dom(2')) ∈ Dom(2).

(R-L): Gilt min(Dom(2)) ∈ Dom(2') oder min(Dom(2')) ∈ Dom(2), dann ist
(min(Dom(2)), ^min(Dom(2))) ∈ 2 ∩ 2' oder (min(Dom(2')), ⅛_mi∏(Dom(2'))) ∈ 2 ∩ 2' und in
beiden Fallen ist 2 ∩ 2' ≠ 0. ■

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