Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

56    2 Verfugbarkeit von Aussagen

g(|Dom(^)|-2)+1 = (min(Dom(^*))+|Dom(^.)|-2)+1 = (min(Dom(^))+|Dom(^)|-2)+1 =
min(Dom(^))+|Dom(^)|-1. Somit ist g' = {(l, min(Dom(^))+l) | l < |Dom(^)|-1} ∪
{(|Dom(^)|-1, min(Dom(^))+|Dom(^)|-1)} = {(l, min(Dom(^))+l) | l < |Dom(^)|}. Da-
mit ist g' auch eine streng monoton wachsende Folge naturlicher Zahlen und somit insge-
samt eine passende Folge naturlicher Zahlen fur ∖λ. ■

Definition 2-7. Abschnittsfolgen fur Sequenzen

G ist eine Abschnittsfolge fur ft

gdw

ft ∈ SEQ und G ist eine Folge mit Ran(G) ⊆ ABS(ft) und fur alle i, j ∈ Dom(G) gilt: Wenn i
< j, dann min(Dom( G (i))) < min(Dom( G (j))) und max(Dom( G (i))) < min(Dom( G (j))).

Definition 2-8. Zuordnung der Menge der Abschnittsfolgen fur ft (ABSF)

ABSF = {(ft, X) | ft ∈ SEQ und X = {G | G ist eine Abschnittsfolge fur ft}}.

Theorem 2-14. Eine Sequenz ft ist genau dann nicht-leer, wenn es eine nicht-leere Abschnitts-
folge fur ft gibt

Wenn ft ∈ SEQ, dann: ft ≠ 0 gdw es gibt ein G ∈ ABSF(ft) mit G ≠ 0.

Beweis: Sei ft ∈ SEQ. Sei nun ft ≠ 0. Dann ist 0 ≠ {(i, {(i, fti)}) | i ∈ Dom(ft)} ∈
ABSF(ft). Gebe es nun umgekehrt ein G ∈ ABSF(ft) mit G ≠ 0. Dann gibt es ein i ∈
Dom(G). Sodann ist Ran(G) ⊆ ABS(ft) und damit G(i) ∈ ABS(ft). Damit gilt mit
Theorem 2-1, dass ft ≠ 0. ■

Theorem 2-15. 0 ist eine Abschnittsfolge fur alle Sequenzen

Wenn ft ∈ SEQ, dann ist 0 ∈ ABSF(ft).

Beweis: Sei ft ∈ SEQ. Dann ist 0 eine Folge mit Ran(0) = 0 ⊆ ABS(ft) und fur alle i, j ∈
Dom(0) = 0 gilt trivialerweise: Wenn i < j, dann min(Dom(0(i))) < min(Dom(0(j))) und
max(Dom(0(i))) < min(Dom(0(j))). ■

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