Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

58    2 Verfugbarkeit von Aussagen

wegen des streng monotonen Wachstums von g: Wenn i, j ∈ Dom(g) und i < j, dann g(i)
< g(j).

Dann gilt fur alle i ∈ Dom(g): Es gibt genau ein A ∈ X, so dass g(i) = min(Dom(A)).
Sei namlich i ∈ Dom(g). Dann ist g(i) = min(Dom(A)) fur ein A ∈ X. Sei nun A' ∈ X
und g(i) = mιn(Dom( A')). Nun gilt nach Voraussetzung X ⊆ ABS(A) und somit ergibt
sich mit Theorem 2-9: A ∩ A' ≠ 0. Damit ergibt sich aus der Eingangsannahme, dass A =
a`.

Sei nun G = {(i, A) | i ∈ Dom(g) und A ∈ X und g(i) = min(Dom(A))}. Dann ist zu-
nachst G eine Folge mit Ran(G) ⊆ X ⊆ ABS(⅛). Sodann gilt fur alle i, j ∈ Dom(G):
Wenn i < j, dann min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und max(Dom(G(i))) <
min(Dom(G(j))). Seien namlich i, j ∈ Dom(G) und sei i < j. Dann ist min(Dom(G(i))) =
g(i) < g(j) = min(Dom(G(j)). Dann ist G(i) ≠ G(j) und somit nach Voraussetzung G(i) ∩
G(j) = 0. Ferner sind dann G(i), G(j) ∈ ABS(⅛) und somit - da eben min(Dom(G(i))) <
min(Dom(G(j))) - mit Theorem 2-8: max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))).

Ferner ist dann Ran(G) = X. Es gilt bereits Ran(G) ⊆ X. Sei nun A ∈ X. Dann ist
min(Dom(A)) = g(i) fur ein i ∈ Dom(g). Dann ist (i, A) ∈ G und somit A ∈ Ran(G). ■

Theorem 2-18. Hinreichende Bedingungen fur die Identitat der Argumente einer Abschnitts-
folge

Wenn A ∈ SEQ und G ∈ ABSF(⅛), dann gilt fur alle i, j ∈ Dom(G):

(i)   Wenn min(Dom( G (i))) = min(Dom( G (j))), dann i = j, und

(ii)   Wenn max(Dom( G (i))) = max(Dom( G (j))), dann i = j.

Beweis: Sei A ∈ SEQ und G ∈ ABSF(⅛) und seien i, j ∈ Dom(G). Sei nun
min(Dom(G(i))) = min(Dom(G(j)). Aus Definition 2-7 ergibt sich: Wenn i < j, dann
min(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) und wenn j < i, dann min(Dom(G(j))) <
min(Dom(G(i))). Beide Falle stehen im Widerspruch zur Annahme. Also ist i = j.

Sei nun max(Dom(G(i))) = max(Dom(G(j))). Ware nun i < j oder j < i, dann ware
max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) oder max(Dom(G(j))) < min(Dom(G(i))). Also ware
max(Dom(G(i))) < min(Dom(G(j))) ≤ max(Dom(G(j))) oder max(Dom(G(j))) <

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