Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

2.1 Abschnitte und Abschnittsfolgen 61

max(Dom(G(max(Dom(G))))). Ferner ergibt sich aus der Annahme und Definition 2-9,
dass min(Dom(a)) ≤ min(Dom( G (0)) und max(Dom( G (max(Dom( G))))) ≤
max(Dom(a)). Damit gilt dann: mιn(Dom(∖λ)) ≤ min(Dom(G(i))) und max(Dom(G(i))) ≤
max(Dom(∖λ)). ■

Theorem 2-24. Alle Glieder einer ANS-umfassenden Abschnittsfolge sind Teilmengen des
betreffenden Abschnitts

Wenn G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge fur a in ft ist, dann gilt fur alle i ∈ Dom(G):
G (i) ⊆ a.

Beweis: Sei G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge fur a in ft und sei i ∈ Dom(G).
Dann gilt mit Definition 2-9 und Definition 2-7: Ran( G) ⊆ ABS(ft) und damit, dass G (i)
ein Abschnitt in ft ist. Sodann gilt mit Theorem 2-23: min(Dom(a)) ≤ min(Dom(G(i)))
und max(Dom(G(i))) ≤ max(Dom(a)). Damit gilt dann mit Theorem 2-5: G(i) ⊆ a. ■

Theorem 2-25. Nicht-Ieere Beschrankungen von ANS-Umfassenden Abschnittsfolgen sind
ANS-umfassende Abschnittsfolgen

Wenn G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge fur a in ft ist, dann gilt fur alle j ∈ Dom(G):
GΓ(j'+1) ist eine ANS-umfassende Abschnittsfolge fur aΓ(max(Dom(G(j)))+1).

Beweis: Sei G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge fur a in ft und sei j ∈ Dom(G).
Dann gilt nach Definition 2-9, dass ft ∈ SEQ und a ∈ ABS(ft) und G ∈ ABSF(ft)∖{0}
und min(Dom(a)) ≤ min(Dom( G (0)) und max(Dom( G (max(Dom( G))))) ≤
max(Dom(a)) und fur alle l ∈ Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(a) gilt: Es gibt ein i ∈ Dom(G), so
dass l ∈ Dom( G (i)). Mit Definition 2-7 ergibt sich leicht, dass G Γ(j+1) ∈ ABSF(ft)∖{0}.
Mit Theorem 2-23 ergibt sich, dass min(Dom(a)) ≤ min(Dom( G (j))) ≤ max(Dom( G (j)))
≤ max(Dom(a)) und somit, dass max(Dom( G (j))) ∈ Dom(a). Mit Theorem 2-6 ergibt
sich damit, dass aΓ(max(Dom( G (j)))+1) ∈ ABS(ft).

Nun sind die drei Unter-Klauseln von (iii) aus Definition 2-9 zu zeigen. Zu a): Zunachst
ist 0 < j+1. Damit ist 0 ∈ Dom(GΓ(j+1)) und somit (GΓ(j+1 ))(0) = G(0) und damit
min(Dom(aΓ(max(Dom( G (j)))+1)))   = min(Dom(a))   ≤ min(Dom( G (0)))   ≤

min(Dom(( G Γ(j+1))(0))). Zu b): max(Dom(( G Γ(j+1))(max(Dom( G Γ(j+1)))))) =

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