Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

2.2 Geschlossene Abschnitte

Mit Definition 2-9 folgt dann, dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge fur ∖λ in ft
ist. Da ANS(ft) ∩ ^ ≠ 0 und damit Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(∖λ) ≠ 0, folgt zudem a) aus d).
Da es auβerdem fur jedes i ∈ Dom(∖λ) ∩ Dom(ANS(ft)) einen geschlossenen Abschnitt
® in ft gibt, so dass (i, ft_i) ∈ ® und ® ⊆ ∖λ, folgen d) und a) bereits daraus, dass

e) fur alle ® ⊆ 21. mit (ft, ®) ∈ GS gibt es ein i ∈ Dom(G), so dass ® ⊆ G(i).

Zu e): Gabe es ein ® ⊆ 21 mit (ft, ®) ∈ GS, so dass es kein i ∈ Dom(G) gibt, so dass ®
⊆ G(i). Sei k = min({j | Es gibt ein C ⊆ 21 mit (ft, ¢) ∈ GS, so dass es kein i ∈ Dom(G)
gibt, so dass C ⊆ G (i), und j = min(Dom(C))}). Dann gibt es ein C ⊆ 21 mit (ft, ¢) ∈ GS,
so dass es kein i ∈ Dom( G) gibt, so dass C ⊆ G (i), und k = min(Dom(C)). Sei nun C' ⊆
21 und (ft, C') ∈ GS und C ⊆ C'. Dann gilt min(Dom(C')) ≤ k. Sodann gilt fur C', dass es
kein i ∈ Dom(G) gibt, so dass C' ⊆ G(i), denn sonst ware auch C ⊆ G(i) fur dieses i. Al-
so gilt wegen der Minimaliat von k, dass min(Dom(C')) = k. Damit gilt aber mit Theorem
2-50, dass C = C'. Also gilt fur alle C' ⊆ 21 mit (ft, C') ∈ GS und C ⊆ C', dass C = C'. Al-
so ist C ∈ X und damit gibt es ein i ∈ Dom(G), so dass C = G(i). Widerspruch! Also gilt
fur alle ® ⊆ 21 mit (ft, ®) ∈ GS, dass es ein i ∈ Dom(G) gibt, so dass ® ⊆ G(i). Zu b):
Fur alle ® ∈ Ran(G) = X gilt ® ⊆ 21. Wegen G ≠ 0 ist auch G(0) ∈ Ran(G) = X und
daher G(0) ⊆ 21. Also nnn(Dom(2l)) ≤ min(Dom(G(0))). Zu c): Mit G ≠ 0 ist
max(Dom(G)) ∈ Dom(G) und daher G(max(Dom(G))) ∈ Ran(G) = X. Daraus folgt
max(Dom( G (max(Dom( G))))) ≤ max(Dom(^)).

Zu (ii): Sei (i, ft_i) ∈ URan(G). Dann ist (i, ft_i) ∈ UX. Also gibt es ein ® ∈ X mit (i, ft_i)
∈ ®. Dann ist ® ⊆ 21 und (ft, ®) ∈ GS. Also ® ∈ {® | ® ⊆ 21 ist ein geschlossener
Abschnitt in ft}. Also (i, ft_i) ∈ U{® | ® ⊆ 21 ist ein geschlossener Abschnitt in ft}. Aus
e) folgt die Ruckrichtung, also U{® | ® ⊆ 21 ist ein geschlossener Abschnitt in ft} ⊆
URan( G).

Zu (iii): (iii) folgt aus der Definition von X und Ran(G) = X. ■

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