2.2 Geschlossene Abschnitte
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Definition 2-25. PB-geschlossener Abschnitt
21.ist ein PB-geschlossener Abschnitt in ʃɔ
gdw
21. ist ein geschlossener Abschnitt und ein EA-artiger Abschnitt in ʃɔ.
Theorem 2-61. SE-, NE- und PB-geschlossene Abschnitte und nur diese sind geschlossene
Abschnitte
21. ist ein geschlossener Abschnitt in ʃɔ
gdw
21. ist ein SE- oder NE- oder PB-geschlossener Abschnitt in ʃɔ.
Beweis: Ergibt sich aus Definition 2-22, Definition 2-23, Definition 2-24, Definition 2-25
und Theorem 2-42. ■
Theorem 2-62. Monotonie der (F-)geschlossener Abschnitt1-Pradikate
Wenn ⅛, ⅛' ∈ SEQ und ⅛ ⊆ ⅛', dann:
(i) Wenn 21. ein SE-geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein SE-geschlossener
Abschnitt in ⅛',
(ii) Wenn 21. ein NE-geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein NE-geschlossener
Abschnitt in ⅛',
(iii) Wenn 21. ein PB-geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein PB-geschlossener
Abschnitt in ⅛'
(iv) Wenn 21. ein minimaler SE-geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein minimaler
SE-geschlossener Abschnitt in ⅛'
(v) Wenn 21. ein minimaler NE-geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein minimaler
NE-geschlossener Abschnitt in ⅛',
(vi) Wenn 21. ein minimaler PB-geschlossener Abschnitt in ^ ist, dann ist 21. ein minimaler
PB-geschlossener Abschnitt in ⅛',
(vii) Wenn 21. ein minimaler geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein minimaler
geschlossener Abschnitt in ⅛ und
(viii) Wenn 21. ein geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein geschlossener Abschnitt
in #.
Beweis: Siehe Bemerkung 2-1. ■
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