Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

2.2 Geschlossene Abschnitte

Definition 2-25. PB-geschlossener Abschnitt

21.ist ein PB-geschlossener Abschnitt in ʃɔ
gdw

21. ist ein geschlossener Abschnitt und ein EA-artiger Abschnitt in ʃɔ.

Theorem 2-61. SE-, NE- und PB-geschlossene Abschnitte und nur diese sind geschlossene
Abschnitte

21. ist ein geschlossener Abschnitt in ʃɔ
gdw

21. ist ein SE- oder NE- oder PB-geschlossener Abschnitt in ʃɔ.

Beweis: Ergibt sich aus Definition 2-22, Definition 2-23, Definition 2-24, Definition 2-25
und Theorem 2-42. ■

Theorem 2-62. Monotonie der (F-)geschlossener Abschnitt¹-Pradikate

Wenn ⅛, ⅛' ∈ SEQ und ⅛ ⊆ ⅛', dann:

(i) Wenn 21. ein SE-geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein SE-geschlossener
Abschnitt in ⅛',

(ii) Wenn 21. ein NE-geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein NE-geschlossener
Abschnitt in ⅛',

(iii) Wenn 21. ein PB-geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein PB-geschlossener
Abschnitt in ⅛'

(iv) Wenn 21. ein minimaler SE-geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein minimaler

SE-geschlossener Abschnitt in ⅛'

(v) Wenn 21. ein minimaler NE-geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein minimaler

NE-geschlossener Abschnitt in ⅛',

(vi) Wenn 21. ein minimaler PB-geschlossener Abschnitt in ^ ist, dann ist 21. ein minimaler

PB-geschlossener Abschnitt in ⅛',

(vii) Wenn 21. ein minimaler geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein minimaler
geschlossener Abschnitt in ⅛ und

(viii) Wenn 21. ein geschlossener Abschnitt in ʃɔ ist, dann ist 21. ein geschlossener Abschnitt
in #.

Beweis: Siehe Bemerkung 2-1. ■