Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



2.2 Geschlossene Abschnitte

93


Theorem 2-65. Vorbereitungstheorem fur Theorem 2-67, Theorem 2-68 und Theorem 2-69
Wenn 21. ein Abschnitt in A ist und fur alle geschlossenen Abschnitte ® in Atmax(Dom(2))
gilt, dass min(Dom(
2)) < min(Dom(Φ)) oder max(Dom(Φ)) ≤ min(Dom(2)), dann gilt fur
alle
i ∈ Dom(2):

(i) 2ti ist kein geschlossener Abschnitt in A und

(ii) Es gibt kein G ANSUMF(A), so dass {A} × Ran(G) GS und 2ti ∈ PERZ((A,
G )).

Beweis: Sei 2 ein Abschnitt in ft und gelte fur alle geschlossenen Abschnitte ® in
Atnuιx(Dom(2)), dass min(Dom(2)) < mιn(Dom('B)) oder max(Dom('B)) ≤
min(Dom(
2)). Sei weiter i Dom(2). Zunachst ist ft SEQ. Zu (i): Ware nun 2ti ein
geschlossener Abschnitt in
ft, dann wurde mit Theorem 2-64-(viii) gelten: 2ti ist ein ge-
schlossener Abschnitt in
Ati. Ferner ist i max(Dom(2)) und somit Ati ⊆
At
max(Dom(2)) und damit gilt mit Theorem 2-62-(viii): 2ti ist ein geschlossener Ab-
schnitt in
Atmax(Dom(2)). Offenbar gilt mit Theorem 2-7 min(Dom(2ti)) =
min(Dom(2l)) und somit mit Theorem 2-31 weder min(Dom(
2)) < min(Dom(2ti)) noch
πuιx(Dom(
2ti)) ≤ min(Dom(2)), was der Voraussetzung widerspricht.

Zu (ii): Gabe es nun ein G ANSUMF(A), so dass {A} × Ran(G) GS und 2ti ∈
PERZ((A, G)). Sei nun j = min({i | i Dom(2) und es gibt G ANSUMF(A), so dass
{
A} × Ran( G) GS und 2ti ∈ PERZ((A, G))}). Dann gibt es G * ANSUMF(A), so
dass {
A} × Ran(G*) GS und 2tj ∈ PERZ((A, G*)). Ware es nun der Fall, dass es ein
k ∈ Dom(2tj) und ein l ∈ Dom(G*) gabe, so dass 2tk ∈ PERZ((A, G*t(l+1))). Dann ist
nach Theorem 2-25
G *t(l+1) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge fur
2tmax(Dom( G *(l))+1. Damit ist dann nach Definition 2-10 G *t(l+1) ANSUMF(A)
und nach Annahme
2tk ∈ PERZ((A, G*t(l+1))) und andererseits k j, was im Wider-
spruch zur Minimaliat von
j steht. Also gibt es kein k ∈ Dom(2tj) und kein l ∈
Dom(G*), so dass 2tk ∈ PERZ((A, G*t(l+1))). Damit ist nach Definition 2-19 2tj ∈
ERZ((A, G*)) und damit mit {A} × Ran(G*) GS und Theorem 2-41 (A, 2tj) GS
und also
2tj im Widerspruch zu (i) ein geschlossener Abschnitt in ft.

Die folgenden vier Theoreme schlieβen Kap. 2.2 ab und stellen die Basis fur den Nach-
weis der Korrektheit und der Vollstandigkeit des Redehandlungskalkuls bereit. Mit diesen
Theoremen lasst sich spater zeigen, dass SE resp. NE resp. PB und nur diese SE- resp.



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