Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

94    2 Verfugbarkeit von Aussagen

NE- resp. PB-geschlossene Abschnitte und damit uberhaupt geschlossene Abschnitte er-
zeugen.

Theorem 2-66. Jeder geschlossene Abschnitt ist ein minimaler geschlossener Abschnitt oder
ein SE- oder NE- oder PB-geschlossener Abschnitt, dessen Annahmesatze am Anfang oder in
echten geschlossenen Teilabschnitten liegen

Wenn 21. ein geschlossener Abschnitt in ft ist, dann:

(i)    21. ist minimaler geschlossener Abschnitt in ft

oder

(ii)   21. ist ein SE- oder NE- oder PB-geschlossener Abschnitt in ft, wobei fur alle i ∈

Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(2) mit min(Dom(2)) < i gilt: Es gibt ein ®, so dass
a)     (i, ft.i) ∈ ®,

b) ® ein geschlossener Abschnitt in ft ist,
c) i = min(Dom(Φ)) und

d)   min(Dom(2)) < min(Dom(Φ)) < max(Dom(Φ)) < max(Dom(2l.)).

Beweis: Ergibt sich aus Definition 2-22, Definition 2-23, Definition 2-24, Definition 2-25
und Theorem 2-48. ■

Theorem 2-67. Vorbereitungstheorem fur Theorem 2-91

2 ist ein Abschnitt in ft und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM, so dass

(i)    ftmin(Dom(2)) = ^rSei Δ∖

(ii) Fur alle geschlossenen Abschnitte ® in ft[^max(Dom(2)) gilt: min(Dom(2l.)) <
min(Dom(Φ)) oder max(Dom(Φ)) ≤ min(Dom(2)),

^{(iii)    A(ft}max(Dom(2.))-1) ^Г,

(iv)  Fur jedes r ∈ Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(2l.) mit min(Dom(2)) < r ≤ max(Dom(2))-1 gibt

es einen geschlossenen Abschnitt ® in ftfmax(Dom(2)), so dass (r, ft_r) ∈ ®, und

(v)   ftmax(Dom(2)) = rAlso Δ → Γ

gdw

2 ist ein SE-geschlossener Abschnitt in ft.

Beweis: (L-R): Seien die Voraussetzungen fur ft und 2 erfullt und seien Δ und Γ wie ge-
fordert. Dann ist zunachst ft ∈ SEQ. Sodann ist mit Definition 2-11 2 ein SE-artiger Ab-
schnitt in ft. Sodann ergibt sich mit Klausel (ii) der Annahme und Theorem 2-65-(i), dass
fur alle k ∈ Dom(2) gilt, dass 2∖k kein geschlossener Abschnitt in ft ist.

Sodann ist ANS(ft) ∩ 21 = {(min(Dom(2l)), ft_mi_n(Do_m(a)))} oder es gibt ein i ∈
Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(2) mit min(Dom(2)) < i ≤ max(Dom(2))-1.

<<   69   70   71   72   73   74   75   >>

More intriguing information