94 2 Verfugbarkeit von Aussagen
NE- resp. PB-geschlossene Abschnitte und damit uberhaupt geschlossene Abschnitte er-
zeugen.
Theorem 2-66. Jeder geschlossene Abschnitt ist ein minimaler geschlossener Abschnitt oder
ein SE- oder NE- oder PB-geschlossener Abschnitt, dessen Annahmesatze am Anfang oder in
echten geschlossenen Teilabschnitten liegen
Wenn 21. ein geschlossener Abschnitt in ft ist, dann:
(i) 21. ist minimaler geschlossener Abschnitt in ft
oder
(ii) 21. ist ein SE- oder NE- oder PB-geschlossener Abschnitt in ft, wobei fur alle i ∈
Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(2) mit min(Dom(2)) < i gilt: Es gibt ein ®, so dass
a) (i, ft.i) ∈ ®,
b) ® ein geschlossener Abschnitt in ft ist,
c) i = min(Dom(Φ)) und
d) min(Dom(2)) < min(Dom(Φ)) < max(Dom(Φ)) < max(Dom(2l.)).
Beweis: Ergibt sich aus Definition 2-22, Definition 2-23, Definition 2-24, Definition 2-25
und Theorem 2-48. ■
Theorem 2-67. Vorbereitungstheorem fur Theorem 2-91
2 ist ein Abschnitt in ft und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM, so dass
(i) ftmin(Dom(2)) = rSei Δ∖
(ii) Fur alle geschlossenen Abschnitte ® in ft[^max(Dom(2)) gilt: min(Dom(2l.)) <
min(Dom(Φ)) oder max(Dom(Φ)) ≤ min(Dom(2)),
(iii) A(ftmax(Dom(2.))-1) Г,
(iv) Fur jedes r ∈ Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(2l.) mit min(Dom(2)) < r ≤ max(Dom(2))-1 gibt
es einen geschlossenen Abschnitt ® in ftfmax(Dom(2)), so dass (r, ftr) ∈ ®, und
(v) ftmax(Dom(2)) = rAlso Δ → Γ
gdw
2 ist ein SE-geschlossener Abschnitt in ft.
Beweis: (L-R): Seien die Voraussetzungen fur ft und 2 erfullt und seien Δ und Γ wie ge-
fordert. Dann ist zunachst ft ∈ SEQ. Sodann ist mit Definition 2-11 2 ein SE-artiger Ab-
schnitt in ft. Sodann ergibt sich mit Klausel (ii) der Annahme und Theorem 2-65-(i), dass
fur alle k ∈ Dom(2) gilt, dass 2∖k kein geschlossener Abschnitt in ft ist.
Sodann ist ANS(ft) ∩ 21 = {(min(Dom(2l)), ftmin(Dom(a)))} oder es gibt ein i ∈
Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(2) mit min(Dom(2)) < i ≤ max(Dom(2))-1.