Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

2.2 Geschlossene Abschnitte

Sodann ist ANS(⅛) ∩ A = {(min(Dom(A)), Xh_mil,. ι >_{oml a} ɪɪ)! oder es gibt ein i ∈
Dom(ΛNS(D)) ∩ Dom(A) mit min(Dom(A)) < i ≤ max(Dom(A))-1.

Gelte nun ANS(⅛) ∩ A = {(min(Dom(A)), ⅛_min(D_om(a)))}. Dann ergibt sich damit, dass
fur alle k ∈ Dom(A) gilt, dass A∖k kein geschlossener Abschnitt in D ist, und Theorem
2-32, dass A ein minimaler geschlossener und damit ein geschlossener Abschnitt in D ist.
Da A ein NE-artiger Abschnitt in D ist, ist A damit ein NE-geschlossener Abschnitt in A.

Gebe es nun ein s ∈ Dom(ANS(⅛)) ∩ Dom(A) mit min(Dom(A)) < s ≤
max(Dom(A))-1. Sei nun C = {(l, ⅛_l) | min(Dom(A))+1 ≤ l ≤ max(Dom(A))-1}. Dann ist
C ein Abschnitt in D und s ∈ Dom(ANS(⅛)) ∩ Dom(C). Sodann gibt es fur jedes r ∈
Dom(ANS(⅛)) ∩ Dom(C) einen geschlossenen Abschnitt ® in Д so dass (r, ⅛_r) ∈ ®
und ® ⊆ C. Sei namlich r ∈ Dom(ANS(⅛)) ∩ Dom(C). Dann ist min(Dom(A)) < r ≤
max(Dom(A))-1 und somit gibt es nach Klausel (vi) einen geschlossenen Abschnitt ® in
⅛∖max(Dom(A)), so dass (r, ⅛_r) ∈ 'K Dann ist min(Dom(C)) ≤ min(Dom(Φ)), denn an-
dernfalls ware mιn(Dom('B)) ≤ min(Dom(A)) < r ≤ max(Dom(Φ)), was Klausel (iii) wi-
derspricht. Zum anderen ergibt sich daraus, dass ® ein Abschnitt in ⅛∖max(Dom(A)) ist,
dass max(Dom(Φ)) ≤ max(Dom(A))-1 = max(Dom(C)). Also ist mit Theorem 2-5 ® ⊆
C.

Damit erfullt C die Voraussetzungen von Theorem 2-59. Also gibt es ein G ∈
ANSUMF(⅛), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge fur C in ⅛ ist und {D} ×
Ran(G) ⊆ {D} × {C* | C* ⊆ C ist ein geschlossener Abschnitt in D} ⊆ {D} × {C* | C*
⊆ A ist ein geschlossener Abschnitt in D} ⊆ GS. Nun gilt nach Definition von C, dass C
∈ ABS(⅛) und min(Dom(A))+1 = min(Dom(C)) und max(Dom(A)) = max(Dom(C))+1
und A ist ein NE-artiger Abschnitt in A. Sodann gilt fur alle r ∈ Dom(G): i <
min(Dom( G (r))) oder max(Dom( G (r))) ≤ i. Sei namlich r ∈ Dom( G). Dann ist G (r) ⊆ C
ein geschlossener Abschnitt in ⅛∖max(Dom(A)). Somit gilt nach Klausel (v): i <
min(Dom( G (r))) oder max(Dom( G (r))) ≤ i. Ferner gilt damit, dass fur alle i ∈ Dom(A)
gilt, dass A∖i kein geschlossener Abschnitt in ⅛ ist, dass auch fur alle i ∈ Dom(A) gilt:
A∖i ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in A.

Damit ist gemaβ Definition 2-18 A ∈ PERZ((⅛, G)). Ware es nun der Fall, dass es ein k
∈ Dom(A) und ein l ∈ Dom( G) gabe, so dass A∖k ∈ PERZ((⅛, G ∖(l+1))). Dann ist nach
Theorem 2-25 G ∖(l+1) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge fur A∖max(Dom( G (l)))+1.

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