Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

98    2 Verfugbarkeit von Aussagen

Damit ist dann nach Definition 2-10 Gf^(l+1) ∈ ANSUMF(Ej) und nach Annahme a∖k ∈
PERZ((⅛, G∖(l+1)>) und andererseits .ħ ∈ SEQ und {⅛} × Ran(G∖(l+1)) ⊆ {⅛} ×
Ran(G) ⊆ GS, was insgesamt im Widerspruch zu Theorem 2-65-(ii) steht. Also gibt es
kein k ∈ Dom(a) und kein l ∈ Dom(G), so dass a∖k ∈ PERZ((⅛, G∖(l+1)>). Damit ist
nach Definition 2-19 a ∈ ERZ((⅛, G)) und damit mit {.ħ} × Ran(G) ⊆ GS und Theorem
2-41 (.ħ, a) ∈ GS und a damit ein geschlossener Abschnitt in .ħ und ein NE-artiger Ab-
schnitt in .ħ und somit ein NE-geschlossener Abschnitt in .ħ.

(R-L): Sei nun a ein NE-geschlossener Abschnitt in .ħ. Dann ist a ein geschlossener
Abschnitt und ein NE-artiger Abschnitt in .ħ. Sodann ist ANS(⅛) ∩ a = {(min(Dom(a)),
⅛_min(Dom(a)))} oder es gibt ein j ∈ Dom(ANS(⅛)) ∩ Dom(E) mit min(Dom(a)) < j ≤
nuιx(Dom(∖λ ))-1.

Erster Fall: Gelte nun ANS(⅛) ∩ E = {(mιn( Dom(E)), ⅛_min(D_om(_a)))}. Dann gilt mit
Theorem 2-35-(iv) und Theorem 2-41, dass a ein minimaler geschlossener Abschnitt in
.D und damit, da a ein NE-artiger Abschnitt in .D ist, dass a ein minimaler NE-
geschlossener Abschnitt in .D ist. Dann ergibt sich, dass es Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈
Dom(D) gibt, so dass (i), (ii), (iv) und (vii) erfullt sind. Sodann gilt trivialerweise, dass
(vi) gilt. Seien nun Δ, Γ und i wie in (i), (ii), (iv) und (vii) gefordert.

Dann gelten auch (iii) und (v). Sei namlich ® ein geschlossener Abschnitt in
.D∖ιmιx(Dom(E)). Dann gilt, wenn l = min(Dom(a)) oder l = i, dann l < min(Dom(Φ))
oder max(Dom(Φ)) ≤ l. Da a namlich ein minimaler NE-geschlossener Abschnitt und
damit ein minimaler geschlossener Abschnitt in .D ist, gilt mit Theorem 2-58: ® ∩ a = 0
oder a ⊆ ®. Da nun aber nach Annahme ® ⊆ E∖max(Dom(E)) gilt, folgt
{(max(Dom(a)), ⅛_max(Do_m(a)))} ∈ a\® und somit a £ ® und daher ® ∩ a = 0. Fur l =
min(Dom(a)) oder l = i und min(Dom(Φ)) ≤ l < max(Dom(Φ)) ware andererseits aber ®
∩ a ≠ 0.

Zweiter Fall: Gebe es nun ein j ∈ Dom(ANS(⅛)) ∩ Dom(a) mit min(Dom(a)) < j ≤
max(Dom(a))-1. Dann ist a kein minimaler geschlossener Abschnitt in .D. Dann gibt es
mit Theorem 2-41 ein G ∈ ANSUMF(⅛) mit {⅛} × Ran(G) ⊆ GS und a ∈ ERZ((⅛,
G)). Dann ist G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge fur C = {(l, ⅛_l) | min(Dom(a))+1
≤ l ≤ max(Dom(a))-1} in .D. Sodann ist a ein NE-artiger Abschnitt in .D und damit gilt
gemaβ Definition 2-18 und Definition 2-19:

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