Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

2.2 Geschlossene Abschnitte 101

max(Dom(∖λ))-1 und somit gibt es nach Klausel (x) einen geschlossenen Abschnitt C in
ftΓmax(Dom(^.)), so dass (r, ft_r) ∈ C. Dann ist min(Dom(C*)) ≤ min(Dom(C)), denn an-
dernfalls ware mιn(Dom(C)) ≤ mιn(Dom(∖λ)) < r ≤ max(Dom(C)), was Klausel (iv) wi-
derspricht. Zum anderen ergibt sich daraus, dass C ein Abschnitt in ftΓmax(Dom(^.)) ist,
dass max(Dom(C)) ≤ max(Dom(∖λ))-1 = max(Dom(C*)). Also ist mit Theorem 2-5 C ⊆
C*.

Damit erfullt C* die Voraussetzungen von Theorem 2-59. Also gibt es ein G ∈
ANSUMF(ft), so dass G eine ANS-umfassende Abschnittsfolge fur C* in ft ist und {ft}
× Ran(G) ⊆ GS. Nun gilt nach Definition von C*, dass C* ∈ ABS(ft) und
min(Dom(^))+1 = min(Dom(C*)) und max(Dom(2l)) = max(Dom(C*))+1 und 21 ist ein
EA-artiger Abschnitt in ft. Angenommen, 2! ist ein NE-artiger Abschnitt in ft. Dann ist Γ
= ^r-[β, ξ Δ]^^, und A(ftmin(Dom(a))) = [β, ξ, Δ] und A(ftmax(Dom(a))-ι) = ^r-[β, ξ, Δ]^^,. Sodann
gilt fur alle r ∈ Dom( G): min(Dom(2l)) < min(Dom(C*)) ≤ min(Dom( G (r)). Ferner gilt
damit, dass fur alle i ∈ Dom(2l) gilt, dass ^↑i kein geschlossener Abschnitt in ft ist, dass
auch fur alle i ∈ Dom(2l) gilt: ^Γi ist kein minimaler geschlossener Abschnitt in ft.

Damit ist gemaβ Definition 2-18 2! ∈ PERZ((ft, G)). Ware es nun der Fall, dass es ein k
∈ Dom(2l) und ein l ∈ Dom(G) gabe, so dass ^∖k ∈ PERZ((ft, G∣^(l+1)>). Dann ist nach
Theorem 2-25 G∣^(l+1) eine ANS-umfassende Abschnittsfolge fur ^↑max(Dom(G(l)))+1.
Damit ist dann nach Definition 2-10 Gf^(l+1) ∈ ANSUMF(ft) und nach Annahme ^∖k ∈
PERZ((ft, G∣^(l+1)>) und andererseits ft ∈ SEQ und {ft} × Ran(G∣^(l+1)) ⊆ {ft} ×
Ran(G) ⊆ GS, was insgesamt im Widerspruch zu Theorem 2-65-(ii) steht. Also gibt es
kein k ∈ Dom(2l) und kein l ∈ Dom(G), so dass ^∖k ∈ PERZ((ft, GΓ(l+1))). Damit ist
nach Definition 2-19 2! ∈ ERZ((ft, G)) und damit mit {ft} × Ran( G) ⊆ GS und Theorem
2-41 (ft, 2!) ∈ GS und 2! damit ein geschlossener Abschnitt in ft und ein EA-artiger Ab-
schnitt in ft und somit ein PB-geschlossener Abschnitt in ft.

(R-L): Sei nun 2! ein PB-geschlossener Abschnitt in ft. Dann ist 2! ein geschlossener
Abschnitt und ein EA-artiger Abschnitt in ft. Dann ergibt sich damit, dass 2! ein EA-
artiger Abschnitt in ft ist, dass es ξ ∈ VAR, β ∈ PAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ},
Γ ∈ GFORM und ein ® ∈ ABS(ft) gibt, fur die die Klauseln (i), (iii), und (v)-(ix) erfullt
sind. Sodann gilt mit Theorem 2-48, dass (x) gilt (falls 2! ein minimaler geschlossener
Abschnitt ist, gilt (x) trivialerweise). AuBerdem ist mιn(Dom(2l)) = min(Dom(® ))+1.

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