Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

102   2 Verfugbarkeit von Aussagen

Zu zeigen ist nun noch, dass auch (ii) und (iv) gelten. Dazu wird zuerst (iv) gezeigt. Sei
dazu C ein geschlossener Abschnitt in Dfmax(Dom(D)). Angenommen min(Dom(C)) ≤
mm(Dom(D)) < max(Dom(C)). Dann ware min(Dom(D)) ∈ Dom(C) und somit D ∩ C ≠
0. Sodann wurde mit Theorem 2-56 gelten, dass D ⊆ C. Damit ware aber D ⊆ C ⊆
Df max(Dom(D)) und somit max(Dom(D)) ∉ Dom(D) ≠ 0. Widerspruch! Also ist
min(Dom(2l)) < min(Dom(C)) oder max(Dom(C)) ≤ min(Dom(D)).

Nun ist noch (ii) zu zeigen. Sei dazu C wieder ein geschlossener Abschnitt in
Dfmax(DomOD)). Angenommen min(Dom(C)) ≤ min(Dom(Φ)) < max(Dom(C)). Dann
ware min(Dom(C)) < min(Dom(D)) ≤ max(Dom(C)). Nun gilt mit (iv) - wie eben gezeigt
- min(Dom(D)) < min(Dom(C)) oder max(Dom(C)) ≤ min(Dom(D)). Da der erste Fall
ausgeschlossen ist, gilt dann max(Dom(C)) ≤ min(Dom(D)) und damit insgesamt
max(Dom(C)) = min(Dom(D)). Dann ist max(Dom(C)) ∈ Dom(ANS(D)). Andererseits
ist C mit Theorem 2-42 ein SE- oder ein NE- oder ein EA-artiger Abschnitt in D und da-
mit musste mit Theorem 2-29 gelten: max(Dom(C)) ∉ Dom(ANS(D)). Widerspruch!
Damit gilt min(Dom(Φ)) < min(Dom(C)) oder max(Dom(C)) ≤ min(Dom(Φ)). Also gilt
auch (ii). ■

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