Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

2.2 Geschlossene Abschnitte

Es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom(⅛), so dass

a)   min(Dom(^)) ≤ i < max(Dom(^)),

b)   ‰n(Dom(a)) = ^rSei Δ∖

C)   A(⅛) = Γ Und A‰aχ(Dom(a))-1) = r-Γ

oder

A(⅛) = r-Γ Und A‰aχ(Dom(a))-1) = Γ,

d) Fur alle r ∈ Dom( G) gilt: i < min(Dom( G (r))) oder max(Dom( G (r))) ≤ i,
^e)    -6max(Dom(α)) = ^l"A^{lso —δ} .

Dann sind (i), (ii), (iv) Und (vii) erfullt. Sodann gilt mit Theorem 2-48 aUch (vi).

Sodann gelten auch (iii) und (v). Sei namlich ® ein geschlossener Abschnitt in
.ħfmax(Dom(2l)). Damit gilt: ® ⊆ .ħfmax(Dom(2l)) und somit {(max(Dom(2l)),
⅛_max(Do_m(a)))} ∈ &\® und somit 21 χ ®. Ferner ergibt sich aus der Annahme, dass
max(Dom(Φ)) < max(Dom(2l)). Damit gilt, dass ® ∩ 21 = 0 oder ® ⊆ ¢. Sei namlich ®
∩ 21 ≠ 0. Dann gilt wegen 21 X ⅝ mit Theorem 2-57 ® ⊂ 21 und somit mit Theorem
2-56: min(Dom(2l)) < min(Dom(Φ)). Damit gilt insgesamt: min(Dom(C)) =
min(Dom(2l))+1 ≤ min(Dom(Φ)) < max(Dom(Φ)) ≤ max(Dom(2l))-1 = max(Dom(C))
und somit mit Theorem 2-5 ® ⊆ ¢.

Damit ergibt sich mit Theorem 2-52 sofort, dass (iii) gilt, also dass min(Dom(^)) <
min(Dom(Φ)) oder max(Dom(Φ)) ≤ min(Dom(^)). Ferner gilt auch (v), also: i <
min(Dom(Φ)) oder max(Dom(Φ)) ≤ i. Ware namlich min(Dom(Φ)) ≤ i < max(Dom(Φ)).
Dann ware (i, ⅛_i) ∈ 'K Nun ist ® ⊆ 21 ein geschlossener Abschnitt in ⅛ und damit gilt
mit Theorem 2-60: Es gibt ein r ∈ Dom(G), so dass ® ⊆ G(r). Dann ware
min(Dom(G(r))) ≤ min(Dom(Φ)) ≤ i < max(Dom(Φ)) ≤ max(Dom(G(r))). Andererseits
musste aber wegen d) gelten: i < min(Dom(G(r))) oder max(Dom(G(r))) ≤ i. Wider-
spruch! Also muss gelten: i < min(Dom(Φ)) oder max(Dom(Φ)) ≤ i. ■

<<   74   75   76   77   78   79   80   >>

More intriguing information