Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



100   2 Verfugbarkeit von Aussagen

Theorem 2-69. Vorbereitungstheorem fur Theorem 2-93

a ist ein Abschnitt in ft und es gibt ξ VAR, β PAR, Δ FORM, wobei FV(Δ) {ξ}, Γ
GFORM und , ABS(ft), so dass

(i)    A(ftmin(Dom(,))) = W",

(ii) Fur alle geschlossenen Abschnitte Z in ftmax(Dom(a)) gilt: min(Dom(,)) <
min(Dom(
Z)) oder max(Dom(Z)) ≤ min(Dom(,)),

(iii)    ftmin(Dom(,))+1 = "Sei [β, ξ, Δ]" ,

(iv) Fur alle geschlossenen Abschnitte Z in ftmax(Dom(a)) gilt: min(Dom(,))+1 <
min(Dom(
Z)) oder max(Dom(Z)) ≤ min(Dom(,))+1,

(v)    A(ftmax(Dom(,))-0 γ,

(vi) .⅛,. -., = rAlso Γ1,

(vii) β TTFM({Δ, Γ}),

(viii) Es gibt kein j min(Dom(,)), so dass β TT(ftj∙),

(ix)   a = ,{(min(Dom(,)), ^min(Dom<®)))} und

(x) Fur jedes r Dom(ANS(ft)) Dom(a) mit min(Dom(a)) < r ≤ max(Dom(a))-1 gibt
es einen geschlossenen Abschnitt
Z in ftmax(Dom(a)), so dass (r, ftr) Z
gdw

a ist ein PB-geschlossener Abschnitt in ft.

Beweis: (L-R): Sei a ein Abschnitt in ft und seien ξ, β, Δ, Γ und , so wie gefordert.
Dann ist zunachst
ft SEQ. Sodann ist mit Definition 2-13 a ein EA-artiger Abschnitt in
ft, wobei min(Dom(a)) = min(Dom(, ))+1. Sodann ergibt sich mit Klausel (iv) der An-
nahme und Theorem 2-65-(i), dass fur alle
k Dom(a) gilt, dass ak kein geschlossener
Abschnitt in
ft ist.

Sodann ist ANS(ft) ∩ a = {(niin(Dom(λ)), ftmin(Dom(a)))} oder es gibt ein i
Dom(ANS(ft)) Dom(a) mit min(Dom(a)) < i ≤ max(Dom(a))-1.

Gelte nun ANS(ft) ∩ a = {(min(Dom(a)), ftmin(Dom(a)))}. Dann ergibt sich damit, dass
fur alle
k Dom(a) gilt, dass ak kein geschlossener Abschnitt in ft ist, und Theorem
2-32, dass
a ein minimaler SE-, NE- oder PB-geschlossener und damit ein geschlossener
Abschnitt in
ft ist. Da a ein EA-artiger Abschnitt in ft ist, ist a damit ein PB-
geschlossener Abschnitt in
ft.

Gebe es nun ein i Dom(ANS(ft)) Dom(a) mit min(Dom(a)) < i
max(Dom(
a))-1. Sei nun Z* = {(l, ftl) | min(Dom(a))+1 ≤ l ≤ max(Dom(a))-1}. Dann ist
Z* ein Abschnitt in ft und i Dom(ANS(ft)) Dom(Z*). Sodann gibt es fur jedes r
Dom(ANS(ft)) Dom(Z*) einen geschlossenen Abschnitt Z in ft, so dass (r, ftr) Z
und Z Z*. Sei namlich r Dom(ANS(ft)) Dom(Z*). Dann ist min(Dom(a)) < r



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