Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

100   2 Verfugbarkeit von Aussagen

Theorem 2-69. Vorbereitungstheorem fur Theorem 2-93

a ist ein Abschnitt in ft und es gibt ξ ∈ VAR, β ∈ PAR, Δ ∈ FORM, wobei FV(Δ) ⊆ {ξ}, Γ
∈ GFORM und , ∈ ABS(ft), so dass

(i)    A(ftmin(Dom(,))) = W",

(ii) Fur alle geschlossenen Abschnitte Z in ft∖max(Dom(a)) gilt: min(Dom(,)) <
min(Dom(Z)) oder max(Dom(Z)) ≤ min(Dom(,)),

(iii)    ftmin(Dom(,))+1 = "Sei [β, ξ, Δ]" ,

(iv) Fur alle geschlossenen Abschnitte Z in ft∖max(Dom(a)) gilt: min(Dom(,))+1 <
min(Dom(Z)) oder max(Dom(Z)) ≤ min(Dom(,))+1,

^(v)    A(^ftmax(Dom(,))-0 ^γ,

(vi) .⅛,. -., = ^rAlso Γ¹,

(vii) β ∉ TTFM({Δ, Γ}),

(viii) Es gibt kein j ≤ min(Dom(,)), so dass β ∈ TT(ft_j∙),

(ix)   a = ,∖{(min(Dom(,)), ^min(Dom<®)))} und

(x) Fur jedes r ∈ Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(a) mit min(Dom(a)) < r ≤ max(Dom(a))-1 gibt
es einen geschlossenen Abschnitt Z in ft∖max(Dom(a)), so dass (r, ft_r) ∈ Z
gdw

a ist ein PB-geschlossener Abschnitt in ft.

Beweis: (L-R): Sei a ein Abschnitt in ft und seien ξ, β, Δ, Γ und , so wie gefordert.
Dann ist zunachst ft ∈ SEQ. Sodann ist mit Definition 2-13 a ein EA-artiger Abschnitt in
ft, wobei min(Dom(a)) = min(Dom(, ))+1. Sodann ergibt sich mit Klausel (iv) der An-
nahme und Theorem 2-65-(i), dass fur alle k ∈ Dom(a) gilt, dass a∖k kein geschlossener
Abschnitt in ft ist.

Sodann ist ANS(ft) ∩ a = {(niin(Dom(∖λ)), ft_mi_n(D_om(a)))} oder es gibt ein i ∈
Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(a) mit min(Dom(a)) < i ≤ max(Dom(a))-1.

Gelte nun ANS(ft) ∩ a = {(min(Dom(a)), ft_mi_n(D_om(a)))}. Dann ergibt sich damit, dass
fur alle k ∈ Dom(a) gilt, dass a∖k kein geschlossener Abschnitt in ft ist, und Theorem
2-32, dass a ein minimaler SE-, NE- oder PB-geschlossener und damit ein geschlossener
Abschnitt in ft ist. Da a ein EA-artiger Abschnitt in ft ist, ist a damit ein PB-
geschlossener Abschnitt in ft.

Gebe es nun ein i ∈ Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(a) mit min(Dom(a)) < i ≤
max(Dom(a))-1. Sei nun Z* = {(l, ft_l) | min(Dom(a))+1 ≤ l ≤ max(Dom(a))-1}. Dann ist
Z* ein Abschnitt in ft und i ∈ Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(Z*). Sodann gibt es fur jedes r ∈
Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(Z*) einen geschlossenen Abschnitt Z in ft, so dass (r, ft_r) ∈ Z
und Z ⊆ Z*. Sei namlich r ∈ Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(Z*). Dann ist min(Dom(a)) < r ≤

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