Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie

96    2 Verfugbarkeit von Aussagen

auch (ft, 2) ∈ GS und 2 damit ein geschlossener Abschnitt in ft und ein SE-artiger Ab-
schnitt in ft und somit ein SE-geschlossener Abschnitt in ft.

(R-L): Sei nun 2 ein SE-geschlossener Abschnitt in ft. Dann ist 2 ein geschlossener
Abschnitt und ein SE-artiger Abschnitt in ft. Dann ergibt sich damit, dass 2 ein SE-
artiger Abschnitt in ft ist, dass es Δ, Γ ∈ GFORM gibt, so dass (i), (iii) und (v) erfullt
sind. Sodann gilt mit Theorem 2-48, dass (iv) gilt. (Falls 2 ein minimaler geschlossener
Abschnitt ist, gilt (iv) trivialerweise.)

Sei nun 'B ein geschlossener Abschnitt in ftfnuιx(Dom(∖λ)). Angenommen
min(Dom(Φ)) ≤ min(Dom(2l)) und min(Dom(2)) < max(Dom(Φ)). Dann ware
min(Dom(2)) ∈ Dom(®) und somit 21 ∩ ® ≠ 0 und min(Dom(Φ)) ≤ min(Dom(2)).
Damit wurde mit Theorem 2-56-(i) und -(ii) gelten, dass 2 ⊆ ®. Damit ware aber 2 ⊆
® ⊆ ftΓmax(Dom(2)) und somit max(Dom(2)) ∉ Dom(2) ≠ 0. Widerspruch! Also ist
min(Dom(2)) < min(Dom(Φ)) oder max(Dom(Φ)) ≤ min(Dom(2)). Also gilt auch (iii).
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Theorem 2-68. Vorbereitungstheorem fur Theorem 2-92

2 ist ein Abschnitt in ft und es gibt Δ, Γ ∈ GFORM und i ∈ Dom(ft), so dass

(i)   min(Dom(2)) ≤ i < max(Dom(2)),

(ii)    ftmin(Dom(2)) = ''Sei Δ',

(iii) Fur alle geschlossenen Abschnitte ® in ft[^max(Dom(2)) gilt: min(Dom(2)) <
min(Dom(Φ)) oder max(Dom(Φ)) ≤ min(Dom(2)),

(iv)   A(fti) = Γ und A(ftmax(Dom(2))-1) =   Γ '

oder

A(fti) =    Γ und A(ftmax(Dom(2))-1) = Γ,

(v) Fur alle geschlossenen Abschnitte ® in ft[^max(Dom(2)) gilt: i < min(Dom(Φ)) oder
max(Dom(Φ)) ≤ i,

(vi) Fur jedes r ∈ Dom(ANS(ft)) ∩ Dom(2) mit min(Dom(2)) < r ≤ max(Dom(2))-1 gibt
es einen geschlossenen Abschnitt ® in ft[^max(Dom(2)), so dass (r, ft_r) ∈ ®, und

(vii) ftmax(Dom(2)) = 'Also —Δ^
gdw

2 ist ein NE-geschlossener Abschnitt in ft.

Beweis: (L-R): Seien die Voraussetzungen fur ft und 2 erfullt und seien Δ, Γ und i wie
gefordert. Dann ist zunachst ft ∈ SEQ. Sodann ist mit Definition 2-12 2 ein NE-artiger
Abschnitt in ft. Sodann ergibt sich mit Klausel (iii) der Annahme und Theorem 2-65-(i),
dass fur alle k ∈ Dom(2) gilt, dass 2Γ k kein geschlossener Abschnitt in ft ist.

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