dynaamisen Optimoinnin avulia. Tapauksessa, jossa kohde-etuudelle ei makseta osinkoja eikà
muita Suorituksia maturiteettinsa aikana, yhtâlon (L2.6) ratkaisu rajaehdon (L2.7) suhteen on
(L2.8) C(S5O) = E [exp(-rT) Max{S,(T) - K, 0}]5
missâ S,(O).,n arvo hetkellâ O on S(O)1 mutta tâmàn jâlkeen se seuraa prosessia
(L2.9) dS’ = rS,dt +oS’dz
E on odotusarvo-operaattoori yhtâlossâ (L2.9) esitetyn Stokastisen prosessin suhteen. Aiemmin
esitetyn peru SteelIa voimme havaita, ettâ yhtâlo (L2.9) implikoi, ettâ
(L2.10) S,(T) = S(O) exp[(r-σ'72)T + σz(T)]
Yhtalossa (L2.10) z(T) on normaalisti jakautunut Brownin Hike siten, ettâ. sen odotusarvo ajan
suhteen on nolla ja varianssi T. Merkitaan tâstâ eteenpâin termia S(O) yksinkertaisuuden vuoksi
termilia S ja muodostetaan uusi muuttuja x = σz(T)5 jonka odotusarvo on myos nolla, mutta
varianssi σ2 T. Yhtâlo (L2.8) voidaan nyt kirjoittaa muotoon
∞ 1 x ɔ 7*t
(L2.ll) ∫ -j^exp(-^~γ[Se×p(-~~- + x)-exp(-rT)Kyix =
-Iog(-∣) -(r-. y)Γ
c f ɪ / χ2 σ2?
S —r=exp(------+ x)a⅛ -
v j , σ√2π7 2σ2T 2
- Io8(⅛)-(r-
τ≡expc^
X 2 )<a⅛
2σ2T
Sexp(-rT) ʃ
5 σ2 „
- !og(∙~-)~(r--"-)7'
A ~