38 1 Zum grammatischen Rahmen
dass Δ'o = [β, ξ, Δo] und damit Δ+ = rΠξ'Δ'oπ = r∏ξ'[β, ξ, Δ0Γ = [β, ξ, r∏ξ'Δoπ ] = [β, ξ,
Δ]. ■
Theorem 1-24. Kurzung von Parametern bei der Substitution
Wenn θ ∈ TERM, Δ ∈ FORM, Σ ∈ SATZ, θ* ∈ GTERM, β ∈ PAR∖(TT(θ) ∪ TT(Δ) ∪
TT(Σ)) und θ+ ∈ ATERM, dann:
(i) [θ*, θ+, θ] = [θ*, β, [β, θ+, θ]],
(її) [θ*, θ+, Δ] = [θ*, β, [β, θ+, Δ]] und
(iii) [θ*, θ+, Σ] = [θ*, β, [β, θ+, Σ]].
Beweis: Seien θ ∈ TERM, Δ ∈ FORM, Σ ∈ SATZ, θ* ∈ GTERM, β ∈ PAR∖(TT(θ) ∪
TT(Δ) ∪ TT(Σ)) und θ+ ∈ ATERM. Zu (i): Der Beweis wird mittels Induktion uber den
Termaufbau von θ gefuhrt. Sei θ ∈ ATERM. Dann ist θ = θ+ oder θ ≠ θ+. Sei zunachst θ
= θ+. Dann ist [β, θ+, θ] = β und [θ*, θ+, θ] = θ*. Dann ist [θ*, θ+, θ] = θ* = [θ*, β, β] =
[θ*, β, [β, θ+, θ]]. Sei nun θ ≠ θ+. Dann ist [β, θ+, θ] = θ und [θ*, θ+, θ] = θ. Wegen β ∉
TT(θ) ist β ≠ θ und mithin θ = [θ*, β, θ]. Also [θ*, θ+, θ] = θ = [θ*, β, θ] = [θ*, β, [β, θ+,
θ]].
Gelte die Behauptung nun fur {θ0, ., θr-1} ⊆ TERM und sei θ = rφ(θ0, ... θr-1)^l ∈
FTERM. Wegen β ∉ TT(θ) gilt auch β ∉ TT(θi) fur alle i < r. Dann gilt mit I.V. [θ*, θ+,
θi] = [θ*, β, [β, θ+, θi]] fur alle i < r. Dann ist [θ*, θ+, rφ(θo, . W] = W*, θ+, θo],
., [θ*, θ+, θr-ι])π = rφ([θ*, β, [β, θ+, θo]], ., [θ*, β, [β, θ+, θr-ι]])π = [θ*, β, rφ([β, θ+,
θo], ., [β, θ+, θr-ι])π] = [θ*, β, [β, θ+, rφ(θo, . θr-ι)π ]].
Zu (ii): Der Beweis wird mittels Induktion uber den Formelaufbau von Δ gefuhrt. Sei Δ
= rΦ(θo, . θr-ι)π ∈ AFORM. Dann gilt β ∉ TT(θi) fur alle i < r und [θ*, θ+, Δ] = [θ*, θ+,
rΦ(θo, . θr-ι)π] = rΦ([θ*, θ+, θo], . [θ*, θ+, θr-ι])π. Mit (i) gilt [θ*, θ+, θi] = [θ*, β, [β,
θ+, θi]] fur alle i < r. Also [θ*, θ+, Δ] = rΦ([θ*, β, [β, θ+, θo]], ., [θ*, β, [β, θ+, θr-ι]])π =
[θ*, β, rΦ([β, θ+, θo], ., [β, θ+, θr-ι])π = [θ*, β, [β, θ+, rΦ(θo, . θr-ι)π ]] = [θ*, β, [β, θ+,
Δ]].
Gelte die Behauptung nun fur Δo, Δ1 ∈ FORM. Sei zunachst Δ = r√∖oΓ ∈ JFORM.
Dann gilt β ∉ TT(Δo) und [θ*, θ+, Δ] = [θ*, θ+, r-Δoπ ] = r-[θ*, θ+, Δo]π. Mit I.V. gilt
[θ*, θ+, Δo] = [θ*, β, [β, θ+, Δo]]. Also [θ*, θ+, Δ] = r-[θ*, β, [β, θ+, Δo]]π = [θ*, β, [β, θ+,
r—Δo^l ]] = [θ*, β, [β, θ+, Δ]]. Sei Δ = r(Δo ψ Δ1)^l ∈ JFORM. Der Fall verlauft analog zum
Negatorfall.
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