Ein pragmatisierter Kalkul des naturlichen Schlieβens nebst Metatheorie



1.2 Substitution


41


Gelte die Behauptung fur Δ0, Δ1 FORM und sei Δ = rΔ0^l JFORM. Dann ist [θ',
θ+, [θ*, ζ, Δ]] = [θ', θ+, [θ*, ζ,
` Δ ]] = r-[θ', θ+, [θ*, ζ, Δo]Γ. Mit I.V. gilt [θ', θ+, [θ*,
ζ, Δo]] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, Δo]]. Also [θ', θ+, [θ*, ζ, Δ]] =
r-[[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+,
Δo]Γ = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+,
r- Δ ]] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, Δ]]. Sei Δ = γ(Δo ψ Δ1)-
JFORM. Der Fall verlauft analog zum Negatorfall.

Sei Δ = r∏ξΔoπ QFORM. Angenommen ξ = ζ. Dann ist [θ', θ+, [θ*, ζ, Δ]] = [θ', θ+,
[θ*, ζ,
r∏ξΔoπ]] = [θ', θ+, r∏ξΔoπ] = r∏ξ[θ', θ+, ΔoΓ = [[θ', θ+, θ*], ζ, r∏ξ[θ', θ+, Δ I ] =
[[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+,
r∏ξΔoπ ]] = [[θ', θ+, θ*], ζ, [θ', θ+, Δ]]. Angenommen ξ ζ. Der Fall
verlauft analog zum Negatorfall. ■

Theorem 1-27. Mehrfache Substitution von neuen und paarweise verschiedenen Parametern
furpaarweise verschiedene Parameter in Termen, Formeln, Satzen und Sequenzen

Wenn θ TERM, Δ FORM, Σ SATZ, S SEQ, k N{0} und {β*o, ., β*k}
PAR(TT(θ) TT(Δ) TT(Σ) TTSEQ(S)) und {βo, ., β} PAR{β*o, ., β*k}, wobei
β*
i ≠ β*j und βi ≠ βj∙ fur alle i, jk+1 mit ij, dann:

(i)    [β*k, βk, [(β*o, ., β*k-i>, (βo, ., βfc>, θ]] = [(β*o, ., β*ft>, (βo, ., βk>, θ],

(ii)   [β*k, βk, [(β*0, ., β*k-i>, (βo, ., βk-i>, Δ]] = [(β*0, ., β*k>, (βo, ., βk>, Δ],

(iii)   [β*k, βk, [(β*0, ., β*k-i>, (βo, ., βk-i>, Σ]] = [(β*0, ., β*k>, (βo, ., βk>, Σ] und

(iv)   [β*k, βk, [<β*0, ., β*k-1>, <βo, ., βk-1>, S]] = [<β*o, ., β*k>, <βo, ., βk>, S].

Beweis: Seien θ TERM, Δ FORM, Σ SATZ, S SEQ, k N{0} und {β*o, .,
β*
k} PAR(TT(θ) TT(Δ)) und {βo, ., βfc} PAR{β*o, ., β*k}, wobei β*i ≠ β*j
und βi ≠ βj fur alle i, j k+1 mit i j. Zu (i): Der Beweis wird mittels Induktion uber den
Termaufbau von θ gefuhrt. Sei θ
ATERM. Dann ist θ KONST PAR VAR. Sei
nun θ
KONST VAR (PARo, ., βfc}). Dann ist θ = [(β*o, ., β*k>, (βo, .,
β
k>, θ] und es ist θ = [<β*o, ., β*k>, (βo, ., βk>, θ] und damit [β*k, βk, [(β*o, ., β*k>,
<βo, ., βk-1>, θ]] = [β*k, βk, θ] = θ = [<β*o, ., β*k>, <βo, ., βk>, θ].

Sei nun θ o, ., βk}. Dann ist θ = βi fur ein i k+1. Dann ist nach Voraussetzung
fur alle
j k+1 mit j i gilt auch θ ≠ βj. Damit ist zunachst [(β*0, ., β*k>, (β0, ., βk>, θ]
= β*
i. Sei nun i k. Dann ist [(β*o, ., β*k>, (βo, ., βk>, θ] = β*i und damit [β*k, βk,
[
<β*o, ., β*k>, <βo, ., βk>, θ]] = [β*k, βk, β*i]. Aus der Voraussetzung ergibt sich nun,
dass β
k ≠ β*i und damit, dass [β*k, βk, β*i] = β*i. Sei nun i = k. Dann ist [<β*o, ., β*k>,
<βo, ., βk>, θ] = θ = βk und somit [β*k, βk, [(β*o, ., β*k>, (βo, ., βk>, θ]] = [β*k, βk,
β
k] = β*k = β*i.



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